Bài tập về tính chất chia hết cho một tổng

Tô Diệu LY 0943153789
TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN
Bài 1. Chứng minh rằng.
a)
+
chia hết cho 11 ;
b)
-
chia hết cho 9 với a > b.
Bài 2: Quan sát các ví dụ
14 + 19 = 33 chia hết cho 11 , 1419 chia hết cho 11 ; 6 + 49 = 55 chia hết cho 11, 649 chia hết cho 11.
Hãy rút ra nhận xét và chưng minh nhận xét ấy.
Bài 3. Cho số
chia hết cho 27. Chứng minh rằng số
chia hết cho 27
Bài 4. Có thể chọn được năm số trong dãy số sau để tổng của chúng bằng 70 không ?
a) 1, 2, 3, … , 29 , 30 ;
b) 1, 3, 5, … , 27, 29.
Bài 5. Cho chín số : 1, 3. 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17. Có thể phân chia được hay không chín só trên thành hai nhóm sao cho:
a) Tổng các số thuộc nhóm I gấp đôi tổng các số thuộc nhóm II?
b) Tổng các số thuốc nhóm I bằng tổng các số thuộc nhóm II ?
Bài 6. a) Có ba số tự nhiên nào mà tổng của chúng tận cùng bằng 4, tích của chúng tận cùng bằng 1 hay không ?
b) Có tồn tại hay không bốn số tự nhiên mà tổng của chúng và tích của chúng đều là số lẻ ?
Bài 7. Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên a , b , c nào mà a . b . c + a = 333 , a . b . c + b = 335 , a . b . c + c = 341.
Bài 8. a) Chứng minh rằng nếu viết thêm vào đằng sau một số tự nhiên có hai chữ số số gồm chính hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì được một số chia hết cho 11.
b) Cũng chứng minh như trên đối với số tự nhiên có ba chữ số.
Bài 9 . Chứng minh rằng nếu
= 2.
thì
chia hết cho 67.
Bài 10. Chứng minh rằng :
a)
chia hết cho 7, 11 và 33 ;
b)
chia hết cho 23 và 29, biết rằng
= 2.
.
Bài 11. Chứng minh rằng nếu
+
+
chia hết cho 11 thì
chia hết cho 11.
Bài 12. a) Cho
+
chia hết cho 37. Chứng minh rằng
chia hết cho 37.
b) Cho
-
chia hết cho 7. Chứng minh rằng
chia hết cho 7.
c) Cho tám số tự nhiên có ba chữ số. Chứng minh rằng trong tám số đó, tồn tại hai số mà khi viết liên tiếp nhau thì tạo thành một số có sáu chữ số chia hết cho 7.
Bài 13. Tìm chữ số a biết rằng
chia hết cho 7.
Bài 14. Cho ba chữ số khác nhau và khác 0. Lập tất cả các số tự nhiên có ba chữ số gồm cả ba chữ số ấy. Chứng minh rằng tổng của chúng chia hết cho 6 và 37.
Bài 15. Có hai số tự nhiên x và y nào mà ( x + y ) ( x – y ) = 1002 hay không?
Bài 16. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, sao cho nếu viết nó tiếp sau số 1999 thì ta được một số chia hết cho 37.
Bài 17. Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng :
a) ( n + 10) ( n + 15) chia hết cho 2 ;
b) n(n + 1) ( n + 2) chia hết cho 2 và cho 3 ;
c) n(n + 1) ( 2n + 1) chia hết cho 2 và cho 3.
Bài 18. Tìm các số tự nhiên a và b, sao cho a chia hết cho b và b chia hết cho a.
Bài 19. Một học sinh viết các số tự nhiên từ 1 đến
. Bạn đó phải viết tất cả m chữ số. Biết rằng m chia hết cho
, tìm
.
Bài 20. Cho 9 số tự nhiên viết theo thứ tự giảm dần từ 9 đến 1 :
9 8 7 6 5 4 3 2 1 .
Có thể đặt được hay không một số dấu “+” hoặc “-“ vào giữa các số đó để kết quả của phép tính bằng:
a) 5 ; b) 6?
Bài 21. Cho tổng 1 + 2 + 3 + … + 9. Xóa hai số bất kì rồi thay bằng hiệu của chúng và cứ làm như vậy nhiều lần. Có cách nào làm cho kết quả cuối cùng bằng 0 được hay không?
Bài 22*. Chứng minh rằng tổng các số ghi trên vé xổ số có sáu chữ số mà tổng