6 đề & ĐA mẫu luyên HSG toán lớp 6

6 đề & đáp án mẫu luyện HSG toán 6

Câu 1 Chứng minh rằng :
+
+
+...+
< 1

Giải : Ta có
<
=
-


<
=
-

........................

<
=
-

Vậy
+
+...+
<
-
+
-
+ ...+
-


Câu 2 Cho các số tự nhiên từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tuỳ ý, sau đó đem cộng mỗi số với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng. Chứng minh rằng trong các tổng nhận được, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10.

Giải : Vì có 11 tổng mà chỉ có thể có 10 chữ số tận cùng đều là các số từ 0 , 1 ,2, …., 9 nên luôn tìm được hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau (Nguyên lý Dichle) nên hiệu của chúng là một số nguyên có tận cùng là 0 và là số chia hết cho 10.

Câu 3 *a/ Cho A = 9999931999 - 5555571997. Chứng minh rằng A chia hết cho 5
** b/ Chứng minh rằng: 11n + 2 + 122n + 1 Chia hết cho 133.

Giải : a/ nhận thấy:
9999931999 có chữ số tận cùng là 7 ( vì 1999 : 4 dư 3. ứng với 3 3 = 27 )
5555571997.có chữ số tận cùng là 7 ( vì 1997 : 4 dư 1. ứng với 7 1 = 7 )
=> 9999931999 - 5555571997 có chữ số tận cùng là 0 =>Hiệu chia hết cho 5

b/ Đặt S = 11n + 2 + 122n + 1 = (11 2 x 11n ) +(121 x 122n )= 121 . 11n + 12 . 144n
S =(133 – 12) . 11n + 12 . 144n = 133 . 11n + (144n – 11n) . 12
Tacó: 133 . 11n chia hết 133;
144n – 11n = chia hết (144 – 11) ( 144n – 11n chia hết 133
Vậy ( S = 11n + 1 + 122n + 1 chia hết 133

Câu 4:
Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng.

Giải : .
Mỗi đường thẳng cắt 100 đường tẳng còn lại tạo nên 100 giao điểm . Có 101 đường thẳng nên có 101.100 giao điểm . nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần nên chỉ có 101.100:2= 5050 ( giao điểm)

Câu 5:
Trên tia Ox xác định các điểm A và B sao cho OA= a(cm), OB=b (cm)
a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a
b) Xác định điểm M trên tia Ox sao cho OM =
(a+b).

Giải : Vì OB a/ Từ đó suy ra: AB = a – b .
b/ OM =
(a+b). nghĩa là M là trung điiểm của OA



Câu 6.
Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C, D. biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D ; OA = 5cm; OD = 2 cm ; BC = 4 cm và độ dài AC gấp đôi độ dài BD. Tìm độ dài các đoạn BD; AC.


Giải : O D B A C x

Vì A nằm giữa B và C nên BA +AC = BC ( BA +AC =4 (1)
Lâp. luân ( B nằm giữa A và D.
Theo gt OD < OA ( D nằm giữa O và A.
(Mà OD + DA = OA ( 2 + DA =5 ( DA =3 cm
Ta có DB + BA = DA( DB +BA =3 (2)
(1) –(2) AC – DB = 1 (3)
theo đề ra : AC = 2BD thay và (3)
Ta có 2BD – BD = 1 ( BD = 1
( AC = 2BD ( AC = 2 cm