11 Câu hỏi về số nguyên tố (tiép)

11 Câu hỏi về số nguyên tố (tiếp)

1. Số nguyên tố sinh đôi là gì?
Những cặp số nguyên tố gọi là số nguyên tố sinh đôi khi trong dãy số tự nhiên cặp ấy là 2 số liền nhau; Mỗi cặp số nguyên tố sinh đôi có hiệu bằng 2, ví dụ như cặp số 3 &5; 5 & 7 hoặc 11 và 13…
Các cặp số nguyên tố nhỏ hơn 1000, xếp theo thứ tự, là:
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), và (881, 883).
2. Có phải các số nguyên tố sinh đôi cũng vô hạn về số lượng?
Ba mươi lăm cặp số vừa nêu ở trên là nằm giữa 1 và 1000. Nhưng danh sách có thể tiếp tục kéo dài đến vô hạn.
Một cặp sinh đôi khác là (4049, 4051).
Một cặp khác nữa là (1.000.000.009.649, 1.000.000.009.651).
Người ta ước đoán rằng số lượng cặp số nguyên tố sinh đôi là vô hạn, nhưng chưa ai chứng minh được.
3. Tính chất chung cho các số nguyên tố sinh đôi là gì?
Mọi cặp số nguyên tố, trừ ngoại lệ là cặp số đầu tiên, tức cặp (3,5), có một tính chất chung nổi bật là tổng các số trong cặp luôn luôn chia hết cho 12.
Ví dụ, cặp (5,7) có tổng bằng 12, cặp (11,13) có tổng bằng 24, cặp (17,19) có tổng bằng 36, và vân vân, mỗi tổng đều chia hết cho 12.
4. Một hợp số có bao nhiêu ước số?
Đặt N = apbqcr là một hợp số, trong đó a, b, c là những số nguyên tố khác nhau, và p, q, r là các số nguyên dương.
Số lượng ước số khi đó là (p + 1)(q + 1)(r + 1).
Làm thế nào có được?
Xét tích số
(1 + a + a2 + ... + ap) (1 + b + b2 + ... + bq) (1 + c + c2 + ... + cr).
Tổng các số hạng trong tích này là (p + 1)(q + 1)(r + 1) và mỗi số hạng trong tích trên là một ước số của con số đã cho. Vì thế, số lượng ước số là (p + 1)(q + 1)(r + 1).
Đồng thời, không còn số nào khác có thể là ước số.
Trong các ước số này đã tính luôn cả 1 và số N.
5. Tính chất này được khái quát hóa như thế nào?
Nếu N = apbqcrds..., thì số lượng ước số tương tự sẽ là (p + 1)(q + 1)(r + 1)(s + 1)..., trong đó đã tính cả 1 và số N.
6. Số 30 có bao nhiêu ước số, và chúng bằng bao nhiêu?
Vì 30 = 2 × 3 × 5 = 21 × 31 × 51, ( nên số lượng ước số = 2 × 2 × 2 = 8.
Các ước số đó là 2, 3, 5, 6, 10, 15; 1 và 30.
7. Số 7056 có bao nhiêu ước số?
Vì 7056 = 24 × 32 × 72,(nên số lượng ước số = (4 + 1)(2 + 1)(2 + 1) = 5 × 3 × 3 = 45.
Nếu trừ đi hai ước số tầm thường 1 và 7056 thì số lượng ước số đích thực = 43.
8. Làm thế nào xác định số mũ cao nhất của một số nguyên tố chứa trong n! ?
Một ví dụ sẽ làm sáng tỏ phương pháp xác định.
Chúng ta hãy tìm số mũ cao nhất của 3 trong 100!, tức là tích 1.2.3....100.
Số nguyên tố 3 chỉ xuất hiện trong các số nguyên 3, 6, 9,...,99, tức là mỗi số nguyên chia hết cho 3.
Do đó, số lượng của chúng được cho bởi thương số của 100