11 Câu hỏi về số nguyên tố

11 Câu hỏi về số nguyên tố

Có bao nhiêu số nguyên tố?
Có vô hạn số nguyên tố. Các số nguyên tố nhỏ hơn 100, xếp theo thứ tự là:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 và 97.
Một vài số nguyên tố lớn hơn 100 là:
101, 103, 107, 109,..., 211,..., 307,..., 401,..., 503,..., 601,..., 701,...,809,..., 907,..., 65537,...,510511,...
Có số nguyên tố lớn nhất không?
Câu hỏi liệu dãy số trên có điểm dừng hay không, hoặc các số nguyên tố có vô hạn về số lượng hay không, đã không được trả lời trong một thời gian khá lâu, cho đến khi Euclid chứng minh rằng chúng phải vô hạn về số lượng, và không có số nguyên tố lớn nhất.
Euclid đã chứng minh các số nguyên tố là vô hạn về số lượng như thế nào?
Lập luận chứng minh như sau:
Nếu chỉ có một số lượng hữu hạn số nguyên tố, thì phải có một số nguyên tố lớn nhất, ví dụ là P, khi đó thì số
(2 × 3 × 5 × 7 × 11 × ... ×P) +1
sẽ cho số dư là 1 khi chia mỗi số 2, 3, 5, 7, 11,..., P.
Do đó, con số trên không thể chia hết cho bất kì số nguyên tố nào trong những số này. Như vậy, nó phải là một số nguyên tố hoặc có thể được chia hết bởi một số nguyên tố lớn hơn P. Dù là trường hợp nào thì P chẳng phải là số nguyên tố lớn nhất.
(Vì thế, có số lượng vô hạn các số nguyên tố.
Phương pháp nào dùng để tính ra số nguyên tố?
Phương pháp tính số nguyên tố đến số N bất kì khá đơn giản. Trước tiên, chúng ta viết tất cả các số từ 1 đến N,
1, 2, 3, 4,..., N
sau đó xóa đi lần lượt, trước tiên là số 1, rồi đến tất cả những số bội của 2 ngoại trừ 2, rồi đến tất cả những số là bội của 3 ngoại trừ 3, rồi đến tất cả những số là bội của 5 ngoại trừ 5, rồi đến tất cả những số là bội của 7 ngoại trừ 7, và cứ thế. Các bội số của 4, 6,... đã bị xóa trước đó. Những số còn lại khi ấy sẽ là số nguyên tố. Cách làm này gọi là “Sàng nguyên tố”
5. Các số nguyên tố phân bố như thế nào?
Mặc dù vô hạn về số lượng, nhưng con số càng lớn thì chúng ta càng hiếm gặp số nguyên tố hơn. Nhưng sự phân bố của chúng là cực kì không đều, bởi vì trong khi hai số nguyên tố liên tiếp có thể chỉ sai khác nhau 2, nhưng hai số nguyên tố liên tiếp cũng có thể sai khác nhau đến một triệu.
Ví dụ, xét các số 10! + 2, 10! + 3, 10! + 4,..., 10! + 10 lần lượt chia hết cho 2, 3, 4,..., 10. Theo cách này, chúng ta có thể tạo ra nhiều hợp số liên tiếp như chúng ta muốn, cho dù một triệu hoặc nhiều hơn, trong đó không có số nào là số nguyên tố. Mặt khác, các số nguyên tố 1.000.000.009.649 và 1.000.000.009.651 chỉ sai khác nhau 2.
Có bao nhiêu số nguyên tố nằm giữa một con số bất kì và số gấp đôi của nó?
Giữa một con số bất kì lớn hơn 1 và số gấp đôi nó luôn luôn có ít nhất một số nguyên tố.
Joseph Bertrand đã ước chừng kết quả này và đã xác nhận nó theo kiểu kinh nghiệm bằng những bảng kê đến những con số rất lớn, nhưng nó thật sự được chứng minh là bởi Chebychev.
Có bao nhiêu số nguyên tố nhỏ hơn một con số cho trước?
Một ước đoán số lượng số nguyên tố nhỏ hơn một con số cho trước cũng đã được nêu ra.
Các số nguyên tố nhỏ hơn 20 (kí hiêu 20) ) là
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, tức là có 8 số, nên ta nói 20) = 8.
Tương tự, 100) = 25, 200) = 46, 300) = 62, 400) = 78, 500) = 95, 600) = 109, 700) = 125, 800) = 139, 900) = 154, 1000) = 168.
Danh sách có thể tiếp tục đến vô hạn, nhưng không thể tìm được một công thức đơn giản cho x), trong đó