Vận dụng hằng đẳng thức vào việc giải toán

VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC

VÀO GIẢI TOÁN


Trong chương I, Đại số 9, hằng đẳng thức
có nhiều vận dụng trong các bài tập từ đơn giản đến phức tạp.
Tuy nhiên, khi gặp dạng toán này, nhiều em thường lúng túng, ngay cả học sinh giỏi cũng gặp nhiều sai sót trong khi trình bày lời giải. Qua bài viết này tôi nêu một số loại toán thường gặp có thể vận dụng hai dạng biến đổi căn thức cơ bản sau đây:
Đưa ra ngoài dấu căn

= A nếu A ≥ 0
- A nếu A < 0
Đưa vào dấu căn:
A
=
nếu A ≥ 0
-
nếu A < 0

Loại 1: Biển đổi đơn giản căn thức bậc hai
Ví dụ 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

= 3x2y nếu y ≥ 0
- 3x2y nếu y < 0
Ví dụ 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn

=
nếu x ≥ 0
-
nếu x < 0
Một số em thường nhầm ở trường hợp thứ hai

Loại 2: Tính giá trị của một biểu thức
Ví dụ 1: Tính


Giải
=

=
(vì

Có thể đặt
với các số nguyên a, b rồi bình phương hai vế để tính a, b? Tương tự, hãy tính

Ví dụ 2: Tính giá trị của
A = 3x - 1 -
với x = 1999
Giải
A = 3x - 1 -

Với x = 1999 thì 2x - 3 > 0 nên A = 3x - 1 - (2x - 3) = x + 2
Lúc đó A có giá trị là 1999 + 2 = 2001
Loại 3: Rút gọn một biểu thức
Ví dụ 1: Rút gọn B =

Giải: Điều kiện x ≥
. Biến đổi
B =

Nếu
hay
thì

Nếu
< 0 hay x < 2 thì B = 1 -

Vậy B =
nếu x ≥ 2
1
-
nếu
≤ x ≥ 2
Có thể đặt B = a + b
với các số nguyên a, b rồi tính a, b?
Ví dụ 2: Rút gọn C =

Giải: C =
(đk: x ≠ ± 2)
Lập bảng khử dấu giá trị tuyệt đối

x

-2

0




-(x + 2)
0
x + 2
2
x + 2



- x - 2
0
- x - 2
-2
x - 2


Từ đó tính được
1 nếu x < -2
C = -1 nếu -2 < x < 0

nếu x ≥ 0 và x ≠ 2
Có thể đưa mẫu số
vào trong dấu căn?

Loại 4: Chứng minh một đẳng thức
Ví dụ 1: Chứng minh 2

Giải: Biến đổi vế trái:


=

=

Vậy:

Có thể biến đổi
hoặc bình phương của hai vế của (*)?

Ví dụ 2: Chứng minh

Đặt vế trái là A, ta có:


=

=

Có thể tính A2?

Loại 5: Giải phương trình
Ví dụ: Giải phương trình:

Giải: Điều kiện x ≥ 3. Biến đổi vế trái thành


=

=

=

= 4 + 2



Loại 6: Tìm giá trị của biến thoả mãn điều kiện cho trước
Ví dụ: Cho M = 4x - 1 -
Tìm x để M = 3
Giải: M = 4x - 1 -

Xét dấu của 3x - 2 ta tính được
M = x + 1 nếu x ≥

7x - 3 nếu x <

+ Với x

thì M = 3 ( x + 1 = 3 ( x = 2: Thích hợp
+ Với x <
thì M = 3 ( 7x - 3 = 3 ( x =
: Loại vì không thoả mãn
x <

Vậy: M = 3 khi x = 2. Có ( thể viết 4x - 1 =
rồi bình phương hai vế?

Loại 7: Tìm cực trị của một biểu thức
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của D =

Giải: D =

=

=

Đẳng thức