Tuyển tập đề thi APMOPS Toán Châu Á các năm

Bài về các khối lập phương.
Bài toán về xếp các khối lập phương theo một quy luật, rồi tính diện tích toàn phần của hình thứ 20. Đáp số là =392×2+4(1+3+539)=4642. Bài này là một kiểu đếm theo quy luật (theo kiểu quy nạp), có kết hợp với bài toán về diện tích. Cái khó của bài này là biết quan sát để việc tính toán các giá trị ban đầu của dãy trở nên nhẹ nhàng hơn.
Bài toán về đếm số lượng tam giác khi nối các điểm trên cạnh của một hình chữ nhật.
Đây cũng là một bài toán khó với học sinh lớp 6, 7. Đáp số bài này là 216. Các bài tương tự loại này cũng đã được giảng dạy kỹ lưỡng cho các em Hexagonists. Những em xa lạ với khái niệm tổ hợp, chỉnh hợp thì bài toán này đã rất khó.
Bài toán về gấp mảnh giấy hình tam giác, tỉ lệ diện tích phần mới và phần cũ là 5:7. 
Đáp số là 28.
Bài toán lấy bóng từ 6 túi (hai loại bóng xanh, bóng đỏ):
 
Tổng số bóng ở 6 túi là 140. Gọi a,lần lượt là số bóng đỏ và số bóng xanh trong cả 6 túi. Ta có a+=140. Suy ra =140−a. Vì số bóng đỏ không thể vượt quá 34 và không ít hơn 18 quả nên 18≤a≤34, dẫn đến 106≤≤122, kéo theo 36≤b≤40. Vì vậy b36;37;38;39;40}. Khi đó tương ứng a32;29;26;23;20}. Đối chiếu giả thiết ta chỉ thấy a=23. Suy ra số bóng đỏ là 23.

Bài toán về tam giác vuông cân và hình bán nguyệt:
Qua A kẻ đường thẳng Ax song với BC. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với Ax, cắt BC,Ax lần lượt tại E,F. Dễ thấy diện tích phần tô đậm bằng tổng diện tích hình chữ nhật ABEF và một nửa hình bán nguyệt trừ đi diện tích của tam giác vuông ADF. Lưu ý là AB=BC=28 cm,DF=42 cm, nên diện tích phần tô đậm là
AB×BE+12×π)2−12×AF×DF=406 cm2.
Đáp số: 406. Bài này có một phiên bản đầu bài khác, cách giải tương tự, đáp số là 252. 
 
Cho N là số tự nhiên mà khi thêm vào sau một số nguyên dương bất kỳ
 
Thực chất của bài toán này là đếm số ước, nội dung này đã được ôn luyện cho các Hexagonist.
 
Ta xét một số tự nhiên A, khi thêm N vào sao chữ số A ta được số AN¯¯¯¯¯¯¯¯. Nếu N có m chữ số thì AN¯¯¯¯¯¯¯¯=A×+N. Từ đây, AN¯¯¯¯¯¯¯¯ chia hết cho N với mọi A khi và chỉ khi N là ước của . Vì N<600 nên m≤3. suy ra rằng nếu n có một chữ số thì là ước của 10. hai 100. ba 1000 và n<600. tính toán cho ta đáp 12.
 
Bài toán tính giá trị của biểu thức
1011×2899×10)
 
Bài toán này đã quá quen thuộc với học sinh Việt Nam. Biểu thức trong ngoặc chính là
911×2+12.319×108110.
Đáp số là 81.
 
Bài toán: Các số chia 5 dư a, chia 6 được thương là b với a+b=11. Tìm tất cả các số đó.
 
Đây là bài dễ. Trước hết, ta nhận thấy a≤4, do đó ta chỉ có các khả năng của (a,b0;11),(1;10),(2;9),(3;8),(4;7)}. Kiểm tra trực tiếp, các trường hợp (0;11),(1;10),(2;9),(4;7) đều bị loại, chỉ có duy nhất trường hợp (3;8) thỏa mãn. Khi đó số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 48. Đáp số là 48. Lời giải này sai. Chúng tôi đã phát hiện từ ngày 16/4 và cập nhật này 17/4. Đầu bài rõ hơn và lời giải đúng như sau:
 
Phiên bản khác của bài toán trên (học sinh nhớ khác nhau): Các số chia 5 dư a, chia 6 dư b và biết rằng a+b=11. Tính tổng tất cả các giá trị của các số đó. 
 
 Trước hết, ta nhận thấy a≤4, do đó ta chỉ có các khả