Tổng hợp các dạng toán hay và khó

MỘT PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIẤ TRỊ LỚN NHẤT
Trong bài viết này, tôi đề cập đến một dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức nhiều ẩn, trong đó các ẩn là nghiệm của những phương trình hoặc bất phương trình cho trước.
Đối với dạng toán này, ta cần xác định và giải một bất phương trình một ẩn mà ẩn đó là biểu thức cần tìm GTLN, GTNN.
Bài toán 1 : Tìm GTLN và GTNN của xy biết x và y là nghiệm của phương trình
x4 + y4 - 3 = xy(1 - 2xy)
Lời giải : Ta có x4 + y4 - 3 = xy(1 - 2xy)
<=> xy + 3 = x4 + y4 + 2x2y2
<=> xy + 3 = (x2 + y2)2 (1).
Do (x2 - y2)2 ≥ 0 với mọi x, y, dễ dàng suy ra (x2 + y2)2 ≥ 4(xy)2 với mọi x, y (2).
Từ (1) và (2) ta có :
xy + 3 ≥ 4(xy)2 <=> 4t2 - t - 3 ≤ 0 (với t = xy)
<=> (t - 1)(4t + 3) ≤ 0

Vậy : t = xy đạt GTLN bằng 1

<=> x = y = 1 ; t = xy đạt GTNN bằng

Bài toán 2 : Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz ≥ x + y + z + 2. Tìm GTNN của x + y + z.
Lời giải : áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương x, y, z ta có :


Vậy t = x + y + z đạt GTNN bằng 6 khi và chỉ khi x = y = z = 2.
Bài toán 3 : Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x2 + 2y2 + 2x2z2 + y2z2 + 3x2y2z2 = 9. Tìm GTLN và GTNN của A = xyz.
Lời giải :
x2 + 2y2 + 2x2z2 + y2z2 + 3x2y2z2 = 9
<=> (x2 + y2z2) + 2(y2 + x2z2) + 3x2y2z2 = 9 (1).
áp dụng bất đẳng thức m2 + n2 ≥ 2|mn| với mọi m, n ta có :
x2 + y2z2 ≥ 2|xyz| ; y2 + x2z2 ≥ 2|xyz| (2).
Từ (1) và (2) suy ra :
2|xyz| + 4|xyz| + 3(xyz)2 ≤ 9
<=> 3A2 + 6|A| - 9 ≤ 0 <=> A2 + 2|A| - 3 ≤ 0
<=> (|A| - 1)(|A| + 3) ≤ 0 <=> |A| ≤ 1
<=> -1 ≤ A ≤ 1.
Vậy : A đạt GTLN bằng 1


A đạt GTNN bằng -1


Bài toán 4 : Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x4 + y4 + x2 - 3 = 2y2(1 - x2).
Tìm GTLN và GTNN của x2 + y2.
Lời giải : Ta có x4 + y4 + x2 - 3 = 2y2(1 - x2)
<=> (x2 + y2)2 - 2(x2 + y2) - 3 = -3x2 ≤ 0
=> t2 - 2t - 3 ≤ 0 (với t = x2 + y2 ≥ 0)
=> (t + 1)(t - 3) ≤ 0 => t ≤ 3
Vậy t = x2 + y2 đạt GTLN bằng 3 khi và chỉ khi x = 0 ;

Ta lại có x4 + y4 + x2 - 3 = 2y2(1 - x2)
<=> (x2 + y2)2 + x2 + y2 - 3 = 3y2 ≥ 0
=> t2 + t - 3 ≥ 0 (với t = x2 + y2 ≥ 0)



Vậy t = x2 + y2 đạt GTNN bằng

khi và chỉ khi y = 0 ;

Bài tập tương tự
1) Cho x, y, z thỏa mãn :
2xyz + xy + yz + zx ≤ 1.
Tìm GTLN của xyz.
Đáp số : 1/8(x = y = z = 1/2)
2) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn :
(x + y + z)3 + x2 + y2 + z2 + 4 = 29xyz
Tìm GTNN của xyz.
Đáp số : 8 (x = y = z = 2).
3) Tìm GTLN và GTNN của S = x2 + y2 biết x và y là nghiệm của phương trình :
5x2 + 8xy + 5y2 = 36
Đáp số : GTLN là 36

GTNN là 4

4) Cho x và y là các số thực thỏa mãn :



Tìm GTLN của x2 + y2.
Đáp số : 1 (x = -