Tổng hợp các dạng toán bồi dưỡng HSG lop 5 Violympic 5

CÁC DẠNG TOÁN BỒI DƯỠNG HSG LỚP 5
-------------------o0o-------------------
VẬN DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT
Dạng 1. Tìm chữ số chưa biết theo dấu hiệu chia hết:
Ví dụ 1: Thay a, b trong số 2007ab bởi chữ số thích hợp để số này đồng thời chia hết cho 2; 5 và 9.
Giải: Số 2007ab đồng thời chia hết cho 2 và 5 nên b = 0.
Thay b = 0 vào số 2007ab ta được 2007a0.
Số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.
Vậy (2 + 0 + 0 + 7 + a + 0) chia hết cho 9
=> a = 0 hoặc a = 9.
Vậy ta tìm được 2 số thoả mãn bài toán là 200700; 200790. Ví dụ 2: Cho A = x459y. Hãy thay x, y bởi chữ số thích hợp để A chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1.
Giải: Vì A chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1 nên A - 1 chia hết cho 2; 5 và 9.
Vậy chữ số tận cùng của A - 1 phải bằng 0, nên y = 1.
Vì A - 1 chia hết cho 9 nên x + 4 + 5 + 9 + 0 chia hết cho 9
=> x + 18 chia hết cho 9.
Do 18 chia hết cho 9 nên x chia hết cho 9, nhưng x là chữ số hàng cao nhất nên x khác 0. Từ đó x = 9.
Thay x = 9; y = 1 vào A ta được số 94591.
Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên bé nhất chia cho 2 dư 1, chia cho 3 dư 2; chia cho 4 dư 3 và chia cho 5 dư 4. Tuy các số dư khác nhau nhưng: 2 - 1 = 1; 3 - 2 = 1; 4 - 3 = 1; 5 - 4 = 1.
Giải: Gọi số cần tìm là A.
Vì A chia cho 2 dư 1 và A chia cho 5 dư 4
Nên A + 1 đồng thời chia hết cho 2 và 5.
Vậy chữ số tận cùng của A + 1 là 0.
Hiển nhiên A +1 không thể có 1 chữ số.
Nếu A + 1 có 2 chữ số thì có dạng x0.
Vì x0 chia hết cho 3 nên x chỉ có thể là 3; 6; 9 ta có số 30; 60; 90.
Trong 3 số đó chỉ có 60 là chia hết cho 4. Vậy A +1 = 60 A = 60 - 1 A = 59 Do đó số cần tìm là 59.
Dạng 2. Tìm số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết Ví dụ: Một số nhân với 9 thì được kết quả là 180 648 07*. Hãy tìm số đó. Giải: Một số nhân với 9 thì được kết quả là 180 648 07?
Nên số 180 648 07* chia hết cho 9.
=> 180 648 07* chia hết cho 9
=> (1 + 8 + 0 + 6 + 4 + 8 + 0 + 7 + *) chia hết cho 9,
=> 34 + * chia hết cho 9,
=> * = 2.
Số cần tìm là: 180 648 072: 9 = 20072008.
Dạng 3. Chứng tỏ một số hoặc một biểu thức chia hết cho (hoặc không chia hết cho) một số nào đó Ví dụ: Cho số tự nhiên A. Người ta đổi chỗ các chữ số của A để được số B gấp 3 lần số A. Chứng tỏ rằng số B chia hết cho 27. Giải: Theo bài ra ta có: B = 3 x A (1) , suy ra B chia hết cho 3, nhưng tổng các chữ số của số A và số B không thay đổi (vì người ta chỉ đổi chỗ các chữ số)
Nên ta cũng có A chia hết cho 3 (2) .
Từ (1) và (2) suy ra B chia hết cho 9.
Nếu vậy thì A chia hết cho 9 (vì tổng các chữ số của chúng như nhau) (3) .
Từ (1) và (3) , suy ra B chia hết cho 27. Dạng 4. Các bài toán thay chữ bằng số Ví dụ: Điền các chữ số thích hợp (các chữ cái khác nhau được thay bởi các chữ số khác nhau) HALONG + HALONG + HALONG = TTT2006 Giải:
Ta có: HALONG + HALONG + HALONG = 3 x HALONG.
Như vậy vế trái là một số chia hết cho 3.
Vế phải TTT2006 có tổng các chữ số bằng 3 x T + 6 + 2 = 3 x (T + 2) + 2 không chia hết cho 3,
=> TTT2006 không chia hết cho 3. Điều này chứng tỏ không thể tìm được các chữ số thoả mãn bài toán. ---------------------------------------------------------------------------------------------------
BÀI LUYỆN TẬP: Câu 1:
Tìm số