Toanhay

ĐỀ THI TUYỂN VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH 2007 - 2008

I. ĐỀ BÀI:

VÒNG I
Câu 1: Cho biểu thức. A =   -     -   .
a/ Rút gọn A.
b/ Tìm x để 2A +  =  .
Câu 2:
a/ Xác định giá trị của m để phương trình x - 2x - m(m-1) - 1 =0 có nghiệm kép.
b/ Giải hệ phương trình x + y = 4

xy + x y = 30.

Câu 3: Cho số thực x và y thỏa mãn x + y = 6. Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = -  .y.
Câu 4: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi AA’, BB’ CC’là đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC.
Chứng minh AA’ là đường phân giác trong của .
b) Cho  = 60. Chứng minh ∆ AOH là tam giác cân.
VÒNG II.
Câu 5:
a)Tìm nghiệm nguyên của phương trình 5x - 2007y = 1, trong đó x thuộc (1; 3000).
b) Chứng minh rằng 5 + 2 chia hết cho 1, với mọi số tự nhiên n.
Câu 6: Xác định số nguyên tố p, q sao cho p - q + 2q và 2p + pq + q là các số nguyên tố cùng nhau.
Câu 7: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6 . Chuwnhs minh rằng  +  +  ≥ 6.
Đẳng thức này sảy ra khi nào?
Câu 8: Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm H nằm trong đường tròn. Qua H ta vẽ dây cung AB và CD vuông góc với nhau.
a) Tính AB + CD theo R, Biết rằng OH =  . b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD, OH. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.
Câu 9: Trong tam giác có cạnh lớn nhất bằng 2, người ta lấy 5 điểm phân biệt. Chứng minh rằng trong 5 điểm đó luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá 1.