Toán tuổi thơ

MỘT SỐ BÀI TOÁN TUỔI THƠ 2
Bài 1: Tìm tất cả các số chính phương dạng
.
Lời giải :
Do
là số chính phương nên
= k2.
Lại vì : 10001 ≤
≤ 99999, => 101 ≤ k < 317. Vậy k phải là số có ba chữ số. Đặt k =
. Cũng từ giả thiết bài toán
là số chính phương nên a thuộc {1, 4, 5, 6, 9}.
+) Nếu a = 1 thì : 100 <
< 142 (trong đó p = 1 hoặc p = 9)
Với p = 1, ta có các số thỏa mãn điều kiện bài toán là : 1012 = 10201, 1112 = 12321, 1212 = 14641 ; còn với p = 9 ta thấy không có số nào thỏa mãn điều kiện đề bài.
+) Nếu a = 4 thì : 200 <
< 224 (p = 2 hoặc p = 8). Thử trực tiếp ta có các số thỏa mãn là :
2022 = 40804, 2122 = 44944.
+) Nếu a = 5 thì : 223 <
< 245 (trong đó p = 5). Trong trường hợp này không có số nào thỏa mãn điều kiện đề bài.
+) Nếu a = 6 thì : 244 <
< 265 (p = 4 hoặc p = 6). Chỉ có một số thỏa mãn trường hợp này là : 2642 = 69696.
+) Nếu a = 9 thì : 300 <
< 317 (p = 3 hoặc p = 7). Trường hợp này cũng chỉ có một số thỏa mãn là : 3072 = 94249. Tóm lại có 7 số thỏa mãn điều kiện bài ra : 10201, 12321, 40804, 14641, 44844, 69696, 94249.
Bài 2: Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng : a – b = 2(a + b) =

Lời giải :
Điều kiện : a, b thuộc Q, b ≠ 0 (*)
Theo bài ra, ta có hệ tương đương :

Ta có : (1) tương đương a - b = 2a + 2b tương đương a = -3b      (3)
Thay (3) vào (2) : (2) <=> -3b – b =
<=> -4b = -9 <=> b = 9/4 (thoả mãn điều kiện (*))
Thay vào (3) ta có : a = - 3.9/4 = - 27/4 (thoả mãn điều kiện (*))
Vậy hai số tìm được là : a = - 27/4 và b = 9/4
Bài 3: Giải phương trình : x2 + 2x + 3 = (x2 + x + 1) (x4 + x2 + 4)
Lời giải :
Ta có : x2 + x + 1 = (x + 1/2)2 + 3/4 > 0 với mọi x
Mặt khác : Với mọi x ta có x4 + x2 + 4 ≥ 4 => (x2 + x + 1) (x4 + x2 + 4) ≥ 4 (x2 + x + 1)
= x2 + 2x + 3 + 2x2 + (x + 1)2 > x2 + 2x + 3
Chứng tỏ phương trình vô nghiệm.
Nhận xét :
Có nhiều cách để chứng minh phương trình vô nghiệm theo nhiều hướng khác nhau.
+ Viết phương trình về dạng :
= x4 + x2 rồi đánh giá hai vế.
+ Viết phương trình về dạng : x4(x + 1/2)2 + 3/2.x4 + 2x2 + x2(1/2.x + 1)2 + (x + 1)2 = 0 và nhận xét vế trái luôn nhận giá trị dương.
+ Tìm tập giá trị của : y =
=> y

=> y

<
= 4
=> y < x4 + x2 + 4.
+ Viết phương trình về dạng: - 2x2 - x = (x2 + x + 1) (x4 + x2 + 1)
Tương đương : 1/8 - 2.(x + 1/4)2 = [ (x + 1/2)2 + 3/4 ].[ (x2 + 1/2)2 + 3/4 ]
Từ đó => : vế trái không lớn hơn 1/8 và vế phải lớn hơn 9/16 nên phương trình vô nghiệm.
Bài 4: Tìm x, y để biểu thức: A =
+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải : Ta có: A =
+

=
+


+
= |3 – x| + |x + 1|
3 – x + x + 1 = 4
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi y = -1 và 3 ≥ x ≥ -1.
Bài 5: Chứng minh rằng : 1/5 + 1/6 + 1/7 + ... + 1/17 < 2
Lời giải :
Cách 1: Ta có: 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 +