Toán rời rạc P3

Phần III.
Tập hợp, ánh xạ, phép đếm
Biên soạn:
TS.Nguyễn Viết Đông
1
Tài liệu tham khảo
[1]GS.TS Nguyễn Hữu Anh, Toán rời rạc, NXB Giáo dục
[2]TS. Trần Ngọc Hội, Toán rời rạc
2
Tập hợp
1.Các phép toán trên tập hợp.
Phép hợp: xA  B  xA  xB.
Phép giao : xA  B  xA  xB.
Hiệu : xA B  xA  xB.
Hiệu đối xứng
xA  B  x A  B  x A  B .
Phần bù :Cho AE thì
3
Tập hợp
Tích Descartes:
A B = {(a,b) aA,b B}
A1A2…An =
{(a1,a2,…,an) aiA i , i = 1,2,…,n}

4
Tập hợp
5
Tập hợp
2.Tính chất của phép toán trên tập hợp
2.1) Tính luỹ đẳng:
A  A = A và A  A = A
2.2) Tính giao hoán:
A  B = B  A và A  B = B  A.
2.3) Tính kết hợp:
(A  B)  C = A  (B  C)
và (A  B)  C = A  (B  C)
6
Tập hợp
2.4) Tính phân phối:
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
và A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
2.5) Công thức De Morgan:


Suy ra:
A (B  C) = (A B)  (A C)
và A (B  C) = (A B)  (A C).
7
Tập hợp
Mở rộng
8
Tập hợp
3.Số phần tử của tập hợp hữu hạn.
Cho A là tập hợp hữu hạn.Số phần tử của tập A ký hiệu là A.Ta có:
AB = A+ B - AB .
2) AB = A B
3) P (A) = 2 A ,P (A) là tập các tập con của A
9
Ánh xạ
1.Định nghĩa và ký hiệu
1.1. Định nghĩa
Cho hai tập hơp X, Y  . Một ánh xạ f từ X vào Y là qui tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x của X với môt phần tử duy nhất y của Y mà ta ký hiệu là f(x) và gọi là ảnh của x qua ánh xạ f. Ta viêt:
f : X  Y
x f(x)
10
Ánh xạ
1.2. Ánh xạ bằng nhau
Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là bằng nhau nếu
x  X, f(x) = g(x).
1.3. Ảnh và ảnh ngược
Cho ánh xạ f từ X vào Y và A  X, B  Y. Ta định nghĩa:
11
Ánh xạ
f(A) = {f(x)  x  A}
= {y  Y  x  A, y = f(x)}
y  Y, y  f(A)  x  A, y = f(x);
y  Y, y  f(A)  x  A, y  f(x).
f–1(B) = {x  X  f(x)  B}
x  X, x  f–1(B)  f(x)  B;
x  X, x  f–1(B)  f(x)  B.
12
Ánh xạ
Ta thường ký hiệu f(X) bởi Imf và f-1({y}) bởi
f-1(y). Imf được gọi là ảnh của ánh xạ f.
Tính chất:
f(A1  A2) = f(A1)  f(A2);
f(A1  A2)  f(A1)  f(A2);
f(A1 A2)  f(A1) f(A2);
f–1(B1  B2) = f–1(B1)  f–1(B2);
f–1(B1  B2) = f–1(B1)  f–1(B2);
f–1(B1 B2) = f–1(B1) f–1(B2).
13
Ánh xạ
2. PHÂN LOẠI ÁNH XẠ
2.1. Đơn ánh
Ta nói f : X  Y là một đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của X đều có ảnh khác nhau, nghĩa là:
x, x`  X, x  x`  f(x)  f(x` )
14
Ánh xạ
f : X  Y là một đơn ánh
 (x, x`  X, f(x) = f(x`)  x = x`).
 (y  Y, f–1(y) có nhiều nhất một phần tử).
 (y  Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham số) có nhiều nhất một nghiệm x  X.
Suy ra:
f : X  Y không là một đơn ánh
(x, x`  X, x  x` và f(x) = f(x`)).
(y  Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham số) có ít nhất hai nghiệm x  X
15
Ánh xạ
2.2. Toàn ánh:
Ta nói f : X  Y là một toàn ánh nếu Imf = Y.
Những tính chất sau được suy trực tiếp từ định nghĩa.
f : X  Y là môt toàn ánh
 (y  Y, x  X, y = f(x))
 (y  Y, f–1(y)  );
 y  Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham
số) có nghiệm x  X.
Suy ra:
f : X  Y không là một toàn ánh
 (y  Y, x  X, y  f(x));
 (y  Y, f–1(y)  );
16
Ánh xạ
2.3. Song ánh và ánh xạ ngược:
Ta nói f : X  Y là một song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
Tính chất.
f : X  Y là một song ánh
 (y  Y, !x  X, y = f(x));
 (y  Y, f–1(y) có đúng một phần tử);
 y  Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham số) có duy nhất một nghiệm x  X.
17
Ánh xạ
Xét f : X  Y là một song ánh. Khi đó, theo tính chất trên, với mọi y  Y, tồn tại duy nhất một phần tử x  X thỏa f(x) = y. Do đó tương ứngy x là một ánh xạ từ Y vào X. Ta gọi đây là ánh xạ ngược của f và ký hiệu f–1. Như vậy:
f–1 : Y  X
y f–1(y) = x với f(x) = y.
18
Ánh xạ
Cho P(x) = x2 – 4x + 5 và các ánh xạ
f : R  R định bởi f(x) = P(x);
g : [2, +)  R định bởi g(x) = P(x);
h : R  [1, +) định bởi h(x) = P(x);
k : [2, +)  [1, +) định bởi k(x) = P(x);
Hãy xét xem ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh và tìm ánh xạ ngược trong trường hợp là song ánh.
19
Ánh xạ
3. TÍCH (HỢP THÀNH)CỦACÁC ÁNH XẠ
3.1. Định nghĩa: Cho hai ánh xạ
f : X  Y và g : Y`  Z
trong đó Y  Y`. Ánh xạ tích h của f và g là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi:
h : X  Z
x h(x) = g(f(x))
Ta viết:
h = g o f : X  Y  Z
x f(x) h(x) = g(f(x))
20
Ánh xạ
3.2. Định lý:
Xét f : X  Y là một song ánh. Khi đó:
f o f–1 = IdY
f–1 o f = IdX
trong đó ký hiệu IdX là ánh xạ đồng nhất X  X
định bởi IdX(x) = x, x  X; ta gọi IdX là ánh xạ
đồng nhất trên X, tương tự IdY là ánh xạ đồng
nhất trên Y.
21
Ánh xạ
4.Lực lượng của tập hợp.
Mỗi tập A ta đặt tương ứng với một đối tượng
A gọi là lực lượng của tập A , sao cho A = B
khi và chỉ khi tồn tại song ánh từ A vào B. Lực
lượng của tập A còn được gọi là bản số của A và
ký hiệu là cardA. Lực lượng của tập rỗng là số 0
Lực lượng của tập {1,2,…,n} là n.
22
Ánh xạ
Lực lượng của tập số tự nhiên ký hiệu là N0 (đọc là alép không) và gọi là lực lượng đếm được, còn lực lượng của tập số thực được gọi là lực lượng continum và ký hiệu là N (alep).
Tập hợp số hữu tỷ, tập hợp số nguyên, tập số chẵn có lực lượng đếm được.
Khoảng (0 ; 1), đoạn [0 ; 1 ] có lực lượng continum
23
Mathematical Induction(Qui nạpTH)
5.1. Mathematical Induction
Prove that if a set S has |S| = n, then |P(S)| = 2n
Base case (n=0): S = ø, P(S) = {ø} and |P(S)| = 1 = 20
Assume P(k): If |S| = k, then |P(S)| = 2k
Prove that if |S’| = k+1, then |P(S’)| = 2k+1
S’ = S  {a} for some S  S’ with |S| = k, and a  S’.
Partition the power set of S’ into the sets containing a and those not.
We count these sets separately.
24
5.1.Mathematical Induction
Assume P(k): If |S| = k, then |P(S)| = 2k
Prove that if |S’| = k+1, then |P(S’)| = 2k+1
S’ = S  {a} for some S  S’ with |S| = k, and a  S’.
Partition the power set of S’ into the sets containing a and those not.
P(S’) = {X : a  X}  {X : a  X}
P(S’) = {X : a  X}  P(S)
25
5.1.Mathematical Induction
Prove that if |S’| = k+1, then |P(S’)| = 2k+1
S’ = S  {a} for some S  S’ with |S| = k, and a  S’.
{X : a  X} = {{a}  X ` : a  X`}
P(S’) = {X : a  X}  P(S)
So |{X : a  X}| = |P(S)|
|P(S’)| = |{X : a  X}| + |P(S)|
= 2 |P(S)|
= 22k
= 2k+1
26
A cool example
Deficient Tiling
A 2n x 2n sized grid is deficient if all but one cell is tiled.
2n
2n
A cool example
We want to show that all 2n x 2n sized deficient grids can be tiled with tiles shaped like:
A cool example
Is it true for 21 x 21 grids?
Base case
Inductive Hypothesis:
We can tile a 2k x 2k deficient board using our fancy designer tiles.
Use this to prove:
We can tile a 2k+1 x 2k+1 deficient board using our fancy designer tiles.
2k+1
OK!! (by IH)
A cool example
2k+1
OK!! (by IH)
OK!! (by IH)
OK!! (by IH)
OK!! (by IH)
A cool example
A cool example
A cool example
5.2.Strong Mathematical Induction
If
P(0) and
n  0 (P(0)  P(1)  …  P(n))  P(n +1)
Then
n  0 P(n)
34
5.2.Strong Mathematical Induction
Theorem . Every integer n 2 is a product of primes.
Proof. Let pn denote the statement of the theorem. Then p2 is clearly true.
If p2, p3, . . . , pk are all true, consider the integer k + 1. If k + 1 is a prime,there is nothing to prove. Otherwise, k + 1 = ab, where 2  a, b  k
But then each of a and b are products of primes because
pa and pb are both true by the (strong) induction
assumption. Hence ab = k + 1 is also a product of
primes, as required.
35
5.3. Inductive Definitions
We completely understand the function f(n) = n !, right?
But equivalently, we could define it like this:

As a reminder, here’s the definition:
n ! = 1 · 2 · 3 · … · (n –1) · n, n  1
36
Another VERY common example:
Fibonacci Numbers
Is there a non-recursive definition for the Fibonacci Numbers?
5.4. Inductive Definitions
37
Our examples so far have been inductively defined functions.
Sets can be defined inductively, too.
Give an inductive definition of S = {x: x is a multiple of 3}
x, y  S  x + y  S
x, y  S  x – y  S

5.4. Inductive Definitions
3  S
No other numbers are in S.
38
Let  be a finite set called an alphabet.
The set of strings on , denoted * is defined as:
  *, where  denotes the null or empty string.
If x  , and w  *, then wx  *, where wx is the concatenation of string w with symbol x.
5.5. Inductive Definitions of Strings
39
5.5. Inductive Definitions of Strings
If x  , and w  *, then wx  *, where wx is the concatenation of string w with symbol x.

Example: Let  = {a, b, c}. Then
* = {, a, b, c, aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc, aaa, aab,…}
How big is *?
Are there any infinite strings in *?
Is there a largest string in *?
40
Inductive definition of the length of strings (the length of string w is denoted by |w|.):
|| = 0
If x  , and w  *, then |wx| = |w| + 1
5.5. Inductive Definitions of Strings
41
Inductive definition of the reversal of a string (the reversal of string w is denoted by wR.):
R = 
If x  , and w  *, then (wx)R = ?
because (abc)R = c(ab)R
= cb(a)R
= cba()R
= cba = cba
5.5. Inductive Definitions of Strings
42

43
Phép đếm
1. Nguyên lý cộng và nguyên lý nhân
1.1. Nguyên lý cộng.
Nếu có m cách chọn x, n cách chọn đối tượng y và nếu
cách chọn đối tượng x không trùng với bất kỳ cách chọn
đối tượng y nào ,thì có m+n cách chọn 1 trong các đối
tượng đã cho.
1.2. Nguyên lý nhân.
Nếu có m cách chọn đối tượng x và cứ mỗi cách chọn x
luôn luôn có n cách chọn đối tượng y thì có m.n cách
chọn cặp đối tượng (x, y).

44
Phép đếm
Ví dụ.
Cho A và B là hai tập hợp.Tập hợp các ánh xạ
từ A vào B được ký hiệu bởi BA.Giả sử A=m ,
B= n thì BA= nm.Thật vậy, mỗi phần tử ai thuộc
A có n cách chọn ảnh f(a i) của nó trong tập B.
Theo qui tắc nhân ta có n.n. …n = nm cách chọn
bộ (f(a1), f(a2), …, f(an)).Tức là ta có nm ánh xạf.
45
Phép đếm
2. Hoán vị.
a) Định nghĩa.
Cho tập hợp A gồm n phần tử .Mỗi cách sắp đặt có thứ tự n phầntử của A được gọi là một hoán vị của n phần tử.Số các hoán vị của n phần tử ký hiệu là Pn
b) Pn = n!
c) Ví dụ :Nếu A là tập hợp n phần tử thì số song ánh từ A vào A là n!
46
Phép đếm
3. Chỉnh hợp.
a) Định nghĩa .
Cho A là tập hợp gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k
phần tử (1 k n)sắp thứ tự của tập hợp A được
gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.Số
các chỉnh hợp chập k của n ký hiệu là
b)Công thức
47
Phép đếm
4.Tổ hợp.
a) Định nghĩa.
Cho tập hợp A gồm n phần tử.Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.Số các tổ hợp chập k của n phần tử đựơc ký hiệu là
hay
48
Phép đếm
b) Công thức

c) Tính chất
vôùi moïi 0  k  n;
vôùi moïi 1  k  n
49
Phép đếm
5. Hoán vị lặp.
a) Định nghĩa
Cho n đối tượng trong đó có ni đối tượng loại i giống hệt nhau (i =1,2,…,k ; n1+ n2,…+ nk= n).
Mỗi cách sắp xếp có thứ tự n đối tượng đã cho gọi là một hoán vị lặp của n.
50
Phép đếm
b) Soá hoaùn vò cuûa n đối tượng, trong ñoù coù n1 đối tượng gioáng nhau thuoäc loaïi 1, n2 đối tượng gioáng nhau thuoäc loaïi 2,…, nk đối tượng gioáng nhau thuoäc loaïi k, laø
51
Phép đếm
Ví dụ: Có bao nhiêu chuỗi kí tự khác nhau bằng cách sắp xếp các chữ cái của từ SUCCESS?
Giải. Trong từ SUCCESS có 3 chữ S, 1 chữ U, 2 chữ C và 1 chữ E. Do đó số chuỗi có được là
.
52
Phép đếm
6.Tổ hợp lặp.
a) Định nghĩa.
Mỗi cách chọn ra k vật từ n loại vật khác nhau
(trong đó mỗi loại vật có thể được chọn lại nhiều
lần) được gọi là tổ hợp lặp chập k của n.Số các
tổ hợp lặp chập k của n được ký hiệu là
53
Phép đếm
b) Công thức

c)Hệ quả. Soá nghieäm nguyeân khoâng aâm (x1,x2,…,xn) (moãi xi ñeàu nguyeân khoâng aâm) cuûa phöông trình
x1+ x2+…+ xn = k laø
54
Phép đếm
Số cách chia k vật đồng chất nhau vào n hộp phân biệt cũng chính bằng số tổ hợp lặp chập k của n
55
Phép đếm
Ví dụ: Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình
x1+ x2 + x3 + x4 = 20 (1)
thỏa điều kiện x1 ? 3; x2 ? 2; x3 > 4 (?).
Giải.
Ta viết điều kiện đã cho thành x1 ? 3; x2 ? 2; x3 ? 5.
Xét các điều kiện sau:
x2 ? 2; x3 ? 5 (??)
x1 ? 4; x2 ? 2; x3 ? 5 (???)
Gọi p, q, r lần lượt là các số nghiệm nguyên không âm của phương trình (1) thỏa các điều kiện (?), (??), (???). Ta có:
56
Phép đếm
p = q - r.
Trước hết ta tìm q.
Đặt
x1` = x1; x2` = x2 - 2; x3` = x3 - 5; x4` = x4
Phương trình (1) trở thành
x1`+ x2` + x3` + x4` = 13 (2)
Số nghiệm nguyên không âm của phương trình (1) thỏa điều kiện (??) bằng số nghiệm nguyên không âm của phương trình (2)
�
57
Phép đếm
Số nghiệm đó là .
Vậy .
Lý luận tương tự, ta có .
Suy ra
Vậy số nghiệm nguyên không âm của phương trình (1) thỏa điều kiện (?) là 340
58
Phép đếm
Ví dụ: Tìm số cách xếp 30 viên bi giống nhau vào 5 hộp khác nhau sao cho hộp 1 có ít nhất 5 bi, biết rằng hộp 2 và 3 chứa không quá 6 bi.
Giải.
Trước hết ta tìm số cách xếp 30 viên bi giống nhau vào 5 hộp khác nhau sao cho hộp 1 có ít nhất 5 bi. Nhận xét rằng ta cần lấy 5 bi để xếp trước vào hộp 1, do đó số bi còn lại chỉ là 25. Suy ra số cách xếp trong trường hợp này bằng số cách xếp 25 bi vào 5 hộp mà không có điều kiện gì thêm. Số đó là
59
Phép đếm

Tương tự ta có
- Số cách xếp 30 viên bi giống nhau vào 5 hộp khác nhau sao cho hộp 1 chứa ít nhất 5 bi, hộp 2 chứa ít nhất 7 bi là:
60
Phép đếm
- Số cách xếp 30 viên bi giống nhau vào 5 hộp khác nhau sao cho hộp 1 chứa ít nhất 5 bi, hộp 3 chứa ít nhất 7 bi là:
-
61
Phép đếm
Số cách xếp 30 viên bi giống nhau vào 5 hộp khác nhau sao cho hộp 1 chứa ít nhất 5 bi, mỗi hộp 2 và 3 chứa ít nhất 7 bi là:
62
Phép đếm
Sử dụng công thức
ta suy ra số cách xếp 30 viên bi giống nhau vào 5 hộp khác nhau sao cho hộp 1 chứa ít nhất 5 bi, đồng thời hộp 2 hay hộp 3 chứa ít nhất 7 bi là
63
Phép đếm
Theo yêu cầu của bài toán, khi xếp 30 viên bi vào 5 hộp thì hộp 1 phải có ít nhất 5 bi còn mỗi hộp 2 và 3 phải có không quá 6 bi. Do đó số cách xếp này sẽ bằng hiệu của hai cách xếp (1) và (2), tức là bằng
64
Phép đếm
7. NGUYÊN LÝ DIRICHLET
Giả sử có n vật cần đặt vào k hộp. Khi đó tồn tại ít nhất một hộp chứa từ
vật trở lên, trong đó là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hay bằng n/k.
65
Phép đếm
Ví dụ. Trong số 100 người luôn luôn có ít nhất là người có sinh nhật trong cùng một tháng.
Ví dụ. Cần tạo ít nhất bao nhiêu mã vùng để đảm bảo cho 84 triệu máy điện thoại, mỗi máy một số thuê bao biết rằng mỗi số thuê bao gồm 7 chữ số, trong đó chữ số đầu khác 0?
66
Phép đếm
Giải. Theo Nguyên lý nhân, có 9 triệu số thuê bao khác nhau có dạng 7 chữ số, trong đó chữ số đầu khác 0. Theo Nguyên lý Dirichlet, trong số 84 triệu máy điện thoại có ít nhất là

máy có cùng một số thuê bao. Do đó, để đảm bảo mỗi máy một số thuê bao cần tạo ra ít nhất là 10 mã vùng.
67
Isaac Newton (1643-1727)
68
Khai triển nhị thức Newton

Với x, y ? R và n là số nguyên dương ta có:
69
Mở rộngKhai triển nhị thức Newton
.
Với các số nguyên không âm n1,n2,…,nk thoả n1+n2+…+nk = n, ký hiệu

70
Mở rộng Khai triển nhị thức Newton
71
Bài tập
1. Cho tập hợp X ? ? và A, B, C ? X. Chứng minh rằng:
a) (A ? B) (A ? C) = B (A ? C);
b) (A ? B) (A ? C) = A ? (B C);
c) (A ? B) C = (A C) ? (B C);
d) (A ? B) C = (A C) ? (B C);
e) (A B) C = A (B ? C) = (A C) (B C).
2. Cho các tập hợp X, Y ? ? và A, B ? X; C, D ? Y. Chứng minh rằng:
72
Bài tập
a) A  (C  D) = (A  C)  (A  D);
b) (C  D)  A = (C  A)  (D  A);
c) A  (C  D) = (A  C)  (A  D);
d) (C  D)  A = (C  A)  (D  A);
e) A  (C D) = (A  C) (A  D);
f) (C D)  A = (C  A) (D  A);
g) (A  C) (B  D) = [(A B)  C]  [A  (C D)];
h) (A  C)  (B  D)  (A  B)  (C  D);
i) (A  C) (B  D)  (A B)  (C D )
73
Bài tập
3. Trong các trường hợp sau hãy xem ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh. Tìm ánh xạ ngược cho các song ánh.
a) f : (0, +?) ? R định bởi f(x) = ln2x - 2lnx + 3;
b) f : (0, +?) ? [2, +?) định bởi f(x) = ln2x - 2lnx + 3;
c) f : (e, +?) ? R định bởi f(x) = ln2x - 2lnx + 3;
d) f : (e, +?) ? (2, +?) định bởi f(x) = ln2x - 2lnx + 3;
e) f : R ? R định bởi f(x) = e2x + 2ex + 3;
f) f : R ? (3, +?) định bởi f(x) = e2x + 2ex + 3;
g) f : (0, +?) ? (3, +?) định bởi f(x) = e2x + 2ex + 3;


74
Bài tập
4. Cho ánh xạ f : [ln2, +?) ? [9/2, +?) định bởi:
f(x) = 2ex - e-x + 1.
a) Chứng minh f là một song ánh và tìm f-1.
b) Tìm ánh xạ h thỏa f o h o f = f o g trong đó g : [ln2, +?) ? [ln2, +?) định bởi g(x) = ex.
75
Bài tập
5)
Tìm số nghiệm nguyên không âm của
phương trình:
x1 + x2 + x3 + x4 = 40
trong mỗi trường hợp sau:
a) x1 ? 3, x2 ? 4.
b) x1 > 3, x2 < 4.
c) 2 ? x1 ? 8, x2 ? 4, x3 > 3, x4 < 6

76
Bài tập
6. a) Tìm số nghiệm nguyên không âm của bất phương trình:
x1 + x2 + x3 ? 11
b) (Bài 2 D? thi 2007)
Có bao nhiêu bộ ba số nguyên không âm (x1, x2, x3) thỏa:
x1 + x2 + x3 ? 15
trong đó x1 > 2, x2 <4
77
Bài tập
7) Đề thi 2003.
a) Có bao nhiêu cặp tập hợp con A,B của một tập hợp 8 phần tử sao cho A  B =
b) Có bao nhiêu cặp tập hợp con A,B của một tập hợp 8 phần tử sao cho :
AB A+ B.
ĐS: a) 3281.
b) 29615.
78
8.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

e)
79
Bài tập
9.Đề thi 2008
Ta lấy ngẫu nhiên 5 bìa từ một hộp chứa 60 tấm bìa trên đó lần lượt ghi các số 10, 11, …, 69.
Có bao nhiêu trường hợp có thể xảy ra.
Có bao nhiêu trường hợp trong đó 5 bìa lấy ra chứa đúng “hai đôi” (mỗi đôi gồm hai bìa có chữ số cuối giống nhau. Chữ số cuối của hai đôi này là hai chữ số khác nhau và khác với chữ số cuối của bìa còn lại)
80
Bài tập
c) Có bao nhiêu trường hợp trong đó chữ số cuối của 5 bìa tạo thành một dãy tăng?
d) Có bao nhiêu trường hợp chữ số cuối của 5 bìa tạo thành một dãy tăng và có ít nhất hai bìa có chữ số đầu khác nhau.

ĐS:
5461512. b) 486000. c) 1959552. d) 1958040



81
Bài tập
10. Đề thi 2009.
Ta lấy ngẫu nhiên 5 bìa từ một hộp chứa 50 tấm bìa trên
đó lần lượt ghi các số 10, 11, …, 59.
a) Có bao nhiêu trường hợp có thể xảy ra.
b) Có bao nhiêu trường hợp trong đó có đúng hai trong năm bìa lấy ra có chữ số cuối bằng nhau.
ĐS: a) 2118760.
b) 1050000.

82