Toán rời rạc P1

Phần I.Mệnh đề
Biên sọan : TS.Nguyễn Viết Đông
1
Tài liệu tham khảo
Toán rời rạc, GS.TS. Nguyễn Hữu Anh
Michael P.Frank ‘s slides
Nguyễn Viết Hưng ‘s slides
Toán rời rạc, TS. Trần Ngọc Hội

2
Mệnh đề và chân trị
Khái niệm về mệnh đề:
Mệnh đề toán học là khái niệm cơ bản của toán
học không được định nghĩa mà chỉ được mô tả.
Mệnh đề toán học(gọi tắt là mệnh đề) là một khẳng định có giá trị chân lý xác định(đúng hoặc sai, nhưng không thể vừa đúng vừa sai).
3
Mệnh đề và chân trị
Ví dụ:
“Số 123 chia hết cho 3” là 1 mệnh đề đúng
“Thành phố Hồ Chí Minh là thủ đô của nước Việt Nam” là một mệnh đề sai.
“Bạn có khỏe không ? ” không phải là một mệnh đề toán học vì đây là một câu hỏi không thể phản ánh một điều đúng hay một điều sai
4
Mệnh đề và chân trị
Kiểm tra xem các khẳng định sau có là mệnh đề không? Nếu có, đó là mệnh đề đúng hay sai?
Môn Toán rời rạc là môn bắt buộc chung cho ngành tin học.
97 là số nguyên tố.
N là số nguyên tố

5
Mệnh đề và chân trị
Ký hiệu mệnh đề :
Người ta thường dùng các ký hiệu : P, Q, R, …
Chú ý: Mệnh đề phức hợp là mệnh đề được xây dựng từ các mệnh đề khác nhờ liên kết chúng lại bằng các liên từ(và, hay, nếu…thì…) hoặc trạng từ “không”
Ví dụ : Nếu trời tốt thì tôi đi dạo.
6
Mệnh đề và chân trị
Chân trị của mệnh đề:
Một mệnh đề chỉ có thể đúng hoặc sai, không thể đồng thời vừa đúng vừa sai. Khi mệnh đề P đúng ta nói P có chân trị đúng, ngược lại ta nói P có chân trị sai.
Chân trị đúng và chân trị sai sẽ được ký hiệu lần lượt là 1(hay Đ,T) và 0(hay S,F)
7
Phép tính mệnh đề
Mục đích của phép tính mệnh đề:
Nghiên cứu chân trị của một mệnh đề phức hợp từ chân trị của các mệnh đề đơn giản hơn và các phép nối những mệnh đề này biểu hiện qua liên từ hoặc trạng từ “không”
8
Some Popular Boolean Operators
Phép tính mệnh đề
Phủ định của mệnh đề
The unary negation operator “¬” (NOT) transforms a prop. into its logical negation.
E.g. If p = “I have brown hair.”
then ¬p = “I do not have brown hair.”
Phép tính mệnh đề
11
Phép tính mệnh đề
Phép tính mệnh đề
Phép nối liền(phép hội; phép giao):
Mệnh đề nối liền của hai mệnh đề P, Q được kí hiệu bởi P  Q (đọc là “P và Q”), là mệnh đề được định bởi :
P  Q đúng khi và chỉ khi P và Q đồng thời đúng

13
Phép tính mệnh đề
Ví dụ: Mệnh đề “Hôm nay, cô ấy đẹp và thông minh ” chỉ được xem là mệnh đề đúng khi cả hai điều kiện “cô ấy đẹp” và “cô ấy thông minh” đều xảy ra. Ngược lại, chỉ 1 trong 2 điều kiện trên sai thì mệnh đề trên sẽ sai.
14
Mệnh đề "Hôm nay, An giúp mẹ lau nhà và rửa chén" chỉ đúng khi hôm nay An giúp mẹ cả hai công việc lau nhà và rửa chén. Ngược lại, nếu hôm nay An chỉ giúp mẹ một trong hai công việc trên, hoặc không giúp mẹ cả hai thì mệnh đề trên sai.
Phép tính mệnh đề
15
The Conjunction Operator
The binary conjunction operator “” (AND)
combines two propositions to form
their logical conjunction.
E.g. If p=“I will have salad for lunch.” and q=“I will have steak for dinner.”, then pq=“I will have salad for lunch and
I will have steak for dinner.”
Remember: “” points up like an “A”, and it means “ND”
ND
16
Note that a
conjunction
p1  p2  …  pn
of n propositions
will have 2n rows
in its truth table.
Also: ¬ and  operations together are suffi-cient to express any Boolean truth table!
Conjunction Truth Table
Operand columns
17
Phép tính mệnh đề
18
Phép tính mệnh đề
Phép nối rời(phép tuyển; phép hợp)
Mệnh đề nối rời của hai mệnh đề P, Q được kí hiệu bởi P  Q (đọc là “P hay Q”), là mệnh đề được định bởi :
P  Q sai khi và chỉ khi P và Q đồng thời sai
19
Phép tính mệnh đề
Ví dụ: Mệnh đề “Tôi đang chơi bóng đá hay bóng rổ”.
Mệnh đề này chỉ sai khi tôi vừa không đang chơi bóng đá cũng như vừa không đang chơi bóng rổ.
Ngược lại, tôi chơi bóng đá hay đang chơi bóng rổ hay đang chơi cả hai thì mệnh đề trên đúng.
20
The Disjunction Operator
The binary disjunction operator “” (OR) combines two propositions to form their logical disjunction.
p=“My car has a bad engine.”
q=“My car has a bad carburetor.”
pq=“Either my car has a bad engine, or
my car has a bad carburetor.”
After the downward-
pointing “axe” of “”
splits the wood, you
can take 1 piece OR the other, or both.
Meaning is like “and/or” in English.
21
Note that pq means
that p is true, or q is
true, or both are true!
So, this operation is
also called inclusive or,
because it includes the
possibility that both p and q are true.
“¬” and “” together are also universal.
Disjunction Truth Table
Note
difference
from AND
22
Phép tính mệnh đề
23
Phép tính mệnh đề
Chú ý :
Cần phân biệt “hay” và “hoặc”.
Đưa ra phép toán để thể hiện trường hợp loại trừ
Ký hiệu : , 
P Q sai  P và Q đồng thời cùng đúng hoặc cùng sai.
The Exclusive Or Operator
The binary exclusive-or operator “” (XOR) combines two propositions to form their logical “exclusive or” (exjunction?).
p = “I will earn an A in this course,”
q = “I will drop this course,”
p  q = “I will either earn an A for this course, or I will drop it (but not both!)”
25
Note that pq means
that p is true, or q is
true, but not both!
This operation is
called exclusive or,
because it excludes the
possibility that both p and q are true.
“¬” and “” together are not universal.
Exclusive-Or Truth Table
Note
difference
from OR.
26
Phép tính mệnh đề
Phép kéo theo:
Mệnh đề P kéo theo Q của hai mệnh đề P và Q, kí hiệu bởi P  Q(đọc là “P kéo theo Q” hay “Nếu P thì Q” hay “P là điều kiện đủ của Q” hay “Q là điều kiện cần của P”) là mệnh đề được định bởi:
P  Q sai khi và chỉ khi P đúng mà Q sai .
27
Phép tính mệnh đề
Ví dụ: Xét mệnh đề sau :
“Nếu tôi đẹp trai thì tôi có nhiều bạn gái”
Ta có các trường hợp sau:
Tôi đẹp trai và có nhiều bạn gái : Mệnh đề rõ ràng đúng
Tôi đẹp trai và không có nhiều bạn gái : Mệnh đề rõ ràng sai
Tôi không đẹp trai mà vẫn có nhiều bạn gái : Mệnh đề vẫn đúng
Tôi không đẹp trai và không có nhiều bạn gái : Mệnh đề vẫn đúng


28
Phép tính mệnh đề
Mệnh đề "Chiều nay, nếu rảnh tôi sẽ ghé thăm bạn" chỉ sai khi chiều nay tôi rảnh nhưng tôi không ghé thăm bạn.
Ngược lại, nếu chiều nay tôi bận thì dù tôi có ghé thăm bạn hay không, mệnh đề trên vẫn đúng. Ngoài ra, tất nhiên nếu chiều nay tôi có ghé thăm bạn thì mệnh đề trên đúng (dù tôi có rảnh hay không!).
29
The Implication Operator
The implication p  q states that p implies q.

I.e., If p is true, then q is true; but if p is not true, then q could be either true or false.
E.g., let p = “You study hard.”
q = “You will get a good grade.”
p  q = “If you study hard, then you will get a good grade.” (else, it could go either way)
antecedent
consequent
30
Implication Truth Table
p  q is false only when
p is true but q is not true.
p  q does not say
that p causes q!
p  q does not require
that p or q are ever true!
E.g. “(1=0)  pigs can fly” is TRUE!
The
only
False
case!
31
Examples of Implications
“If this lecture ends, then the sun will rise tomorrow.” True or False?
“If Tuesday is a day of the week, then I am a penguin.” True or False?
“If 1+1=6, then Bush is president.”
True or False?
“If the moon is made of green cheese, then I am richer than Bill Gates.” True or False?
32
Phép tính mệnh đề
33
Phép tính mệnh đề
Phép kéo theo hai chiều:
M?nh d? P k�o theo Q v� ngu?c l?i c?a hai m?nhd?
P v� Q, k� hi?u b?i P ? Q (d?c l� "P n?u v� ch? n?u
Q" hay P khi v� ch? khi Q" hay "P l� di?u ki?n c?n
v� d? c?a Q"), l� m?nh d? x�c d?nh b?i:
P ? Q d�ng khi v� ch? khi P v� Q cĩ c�ng ch�n tr?
34
Phép tính mệnh đề
35
Phép tính mệnh đề
36
The biconditional operator
The biconditional p  q states that p is true if and only if (IFF) q is true.
p = “Bush wins the 2004 election.”
q = “Bush will be president for all of 2005.”
p  q = “If, and only if, Bush wins the 2004 election, Bush will be president for all of 2005.”
2004
I’m still
here!
2005
Biconditional Truth Table
p  q means that p and q
have the same truth value.
Note this truth table is the
exact opposite of ’s!
p  q means ¬(p  q)
p  q does not imply
p and q are true, or cause each other.
38
Boolean Operations Summary
We have seen 1 unary operator and 5 binary operators . Their truth tables are below.
39
Some Alternative Notations
Dạng mệnh đề
Dạng mệnh đề là một biểu thức được cấu tạo từ:
- Các hằng mệnh đề, tức là các mệnh đề đã xét ở tr�n.
- Các biến mệnh đề, tức là các biến lấy giá trị là các mệnh đề, thông qua các phép toán mệnh đề đã xét ở mục tr�n theo một trình tự nhất định nào đó, thường được chỉ rõ bởi các dấu ngo?c.
41
Dạng mệnh đề
Với E là một dạng mệnh đề các biến mệnh đề p, q, r ứng với mỗi giá trị cụ thể P, Q, R (là các mệnh đề) của p, q, r thì ta có duy nhất một mệnh đề E(P, Q, R). Ta viết E = E(p, q, r).
Bảng chân trị là bảng ghi tất cả các trường hợp chân trị có thể xảy ra đối với dạng mệnh đề E theo chân trị của các biến mệnh đề p, q, r. Nếu có n biến, bảng này sẽ có 2n dòng, chưa kể dòng tiêu đề.
42
43
Dạng mệnh đề
44
Tautologies and Contradictions
A tautology is a compound proposition that is true no matter what the truth values of its atomic propositions are!
Ex. p  p [What is its truth table?]
A contradiction is a compound proposition that is false no matter what! Ex. p  p [Truth table?]
Other compound props. are contingencies.
45
Logical Equivalence
Compound proposition p is logically equivalent to compound proposition q, written pq, IFF the compound proposition pq is a tautology.
Compound propositions p and q are logically equivalent to each other IFF p and q contain the same truth values as each other in all rows of their truth tables.
46
Ex. Prove that pq  (p  q).
Proving Equivalence
via Truth Tables
F
T
T
T
T
T
T
T
T
T
F
F
F
F
F
F
F
F
T
T
47
Dạng mệnh đề
Quy tắc thay thế thứ 1:
Trong dạng mệnh đề E, nếu ta thay thế biểu thức
con F bởi một dạng mệnh đề tương đương logic
thì dạng mệnh đề thu được vẫn còn tương đương
logic với E.
Quy tắc thay thế thứ 2:
Giả sử dạng mệnh đề E(p,q,r…) là một hằng đúng. Nếu ta
thay thế những nơi p xuất hiện trong E bởi một F(p’,q’,r’)
thì dạng mệnh đề nhận được theo các biến q,r…,p’,q’,r’,…
vẫn còn là 1 hằng đúng.

48
Dạng mệnh đề
Các luật logic : Với p, q, r là các biến mệnh đề, 1 là một hằng đúng và 0 là một hằng sai, ta có các tương đương logic sau đây:
1) Luật luỹ đẳng
p  p  p
p  p  p

49
Dạng mệnh đề
50
51
52
53
54
Dạng mệnh đề
16) Luật rút gọn:
p q  p  1
p  (p q)  p q
(p  q) q  p q
p  (p  q)  1
55
Equivalence Laws - Examples
Identity: pT  p pF  p
Domination: pT  T pF  F
Idempotent: pp  p pp  p
Double negation: p  p
Commutative: pq  qp pq  qp
Associative: (pq)r  p(qr)
(pq)r  p(qr)
56
More Equivalence Laws
Distributive: p(qr)  (pq)(pr)
p(qr)  (pq)(pr)
De Morgan’s:
(pq)  p  q
(pq)  p  q
Trivial tautology/contradiction:
p  p  T p  p  F
Augustus
De Morgan
(1806-1871)
Defining Operators via Equivalences
Using equivalences, we can define operators in terms of other operators.
Exclusive or: pq  (pq)(pq)
pq  (pq)(qp)
Implies: pq  p  q
Biconditional: pq  (pq)  (qp)
pq  (pq)
58
An Example Problem
Check using a symbolic derivation whether
(p  q)  (p  r)  p  q  r.
(p  q)  (p  r) 
[Expand definition of ] (p  q)  (p  r)
[Defn. of ]  (p  q)  ((p  r)  (p  r))
[DeMorgan’s Law]
 (p  q)  ((p  r)  (p  r))
 [associative law] cont.
59
Example Continued...
(p  q)  ((p  r)  (p  r))  [ commutes]
 (q  p)  ((p  r)  (p  r)) [ associative]
 q  (p  ((p  r)  (p  r))) [distrib.  over ]
 q  (((p  (p  r))  (p  (p  r)))
[assoc.]  q  (((p  p)  r)  (p  (p  r)))
[trivail taut.]  q  ((T  r)  (p  (p  r)))
[domination]  q  (T  (p  (p  r)))
[identity]  q  (p  (p  r))  cont.
60
End of Long Example
q  (p  (p  r))
[DeMorgan’s]  q  (p  (p  r))
[Assoc.]  q  ((p  p)  r)
[Idempotent]  q  (p  r)
[Assoc.]  (q  p)  r
[Commut.]  p  q  r
Q.E.D. (quod erat demonstrandum)
(Which was to be shown.)
61
Dạng mệnh đề
Để chứng minh một dạng mệnh đề là hằng đúng, hằng sai, các dạng mệnh đề là tương đương lôgic, dạng mệnh đề này là hệ quả logic của dạng mệnh đề kia, ta có các cách sau:
- Lập bảng chân trị.

- Sử dụng phép thay thế.
62
Ví dụ

Cho p, q, r là các biến mệnh đề. Chứng minh rằng:
(?p? r) ? (q ? r) ? (p ? q) ? r (1)
Chúng ta cĩ th? chứng minh (1) bằng hai cách.
Cách 1: Lập bảng chân trị .
63
64
Qui tắc suy diễn
Trong các chứng minh toán học, xuất phát từ một số khẳng định đúng p, q, r…(tiền đề), ta áp dụng các qui tắc suy diễn để suy ra chân lí của một mệnh đề h mà ta gọi là kết luận.
Nói cách khác, dùng các qui tắc suy diễn để chứng minh:
( p  q  r … ) có hệ quả logic là h
.
65
Qui Tắc Suy Diễn
Ta thường mô hình hóa phép suy luận đó dưới dạng:
p
q
r
…
h
66
Qui Tắc Suy Diễn
QUI TẮC MODUS PONENS(Phương pháp khẳng định)
Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng:


Hoặc dưới dạng sơ đồ


Nếu An học chăm thì An học tốt.
Mà An học chăm
Suy ra An học tốt
Hình vuông là hình bình hành
Mà hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Suy ra hình vuông có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
68
Qui Tắc Suy Diễn
QUI TẮC TAM ĐOẠN LUẬN(Syllogism)
Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng:


Hoặc dưới dạng sơ đồ


Hai tam giác vuông có cạnh huyền và 1 cặp góc nhọn bằng nhau thì chúng ta có một cạnh bằng nhau kèm giữa hai góc bằng nhau.
Nếu hai tam giác có cạnh bằng nhau kèm giữa hai góc bằng nhau thì chúng bằng nhau
Suy ra hai tam giác vuông có cạnh huyền và 1 cặp góc nhọn bằng nhau thì bằng nhau.
Một con ngựa rẻ là một con ngựa hiếm
Cái gì hiếm thì đắt
Suy ra một con ngựa rẻ thì đắt ()
70
Qui Tắc Suy Diễn
QUI TẮC MODUS TOLLENS
PHƯƠNG PHÁP PHỦ ĐỊNH
Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng:


Hoặc dưới dạng sơ đồ


Xét chứng minh
Ta suy luận
Aristotle
(ca. 384-322 B.C.)
72
Qui Tắc Suy Diễn
QUI TẮC TAM ĐOẠN LUẬN RỜI
Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng:



Ý nghĩa của qui tắc: nếu trong hai trường hợp có thể xảy ra, chúng ta biết có một trường hợp sai thì chắc chắn trường hợp còn lại sẽ đúng

Qui Tắc Suy Diễn
QUI TẮC MÂU THUẪN
CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG
Ta có tương đương logic


Để chứng minh vế trái g là một hằng đúng ta chứng minh nếu thêm phủ định của q vào các tiền đề thì được một mâu thuẫn.

VÍ DỤ
Hãy chứng minh:
Cm bằng phản chứng.
75
Qui Tắc Suy Diễn
CHỨNG MINH THEO TRƯỜNG HỢP
Dựa trên hằng đúng:


Ý nghĩa: nếu p suy ra r và q suy ra r thì p hay q cũng có thể suy ra r.


VÍ DỤ
Chứng minh rằng:
Một số luật thêm
p Rule of Addition(Phép thêm)
 pq

pq Phép đơn giản nối liền
 p
p
q
 pq Luật về phép nối lền
78
VÍ DỤ TỔNG HỢP
Nếu nghệ sĩ Trương Ba không trình diễn hay số vé bán ra ít hơn 100 thì đêm diễn sẽ bi hủy bỏ và ông bầu sẽ rất buồn.
Nếu đêm diễn bị hủy bỏ thì tiềnvé phải trả lại cho người xem.
Nhưng tiềnvé đã không trả lại cho người xem.
Vậy nghệ sỹ TB đã trình diễn
p:Nghệ sĩ Trương Ba đã trình diễn.
q:số vé bán ra ít hơn 100.
r:đêm diễn bị hủy bỏ.
s: ông bầu buồn.
t:trả lại tiền vé cho người xem

79
Qui Tắc Suy Diễn
PHẢN VÍ DỤ
Để chứng minh một phép suy luận là sai hay

không là một hằng đúng. Ta chỉ cần chỉ ra một phản ví dụ.

VÍ DỤ
Ông Minh nói rằng nếu không được tăng lương thì ông ta sẽ nghỉ việc. Mặt khác, nếu ông ấy nghỉ việc và vợ ông ấy bị mất việc thì phải bán xe. Biết rằng nếu vợ ông Minh hay đi làm trễ thì trước sau gì cũng sẽ bị mất việc và cuối cùng ông Minh đã được tăng lương.
Suy ra nếu ông Minh không bán xe thì vợ ông ta đã không đi làm trễ
p:ông Minh được tăng lương.
q: ông Minh nghỉ việc.
r: vợ ông Minh mất việc.
s: gia đình phải bán xe.
t: vợ ông hay đi làm trễ.
s=0
t=1
p=1
q=0
r=1
81
Formal Proof Example
Suppose we have the following premises:
“It is not sunny and it is cold.”
“Only if We will swim is it sunny.”
“If we do not swim, then we will canoe.”
“If we canoe, then we will be home early.”
Given these premises, prove the theorem
“We will be home early” using inference rules.
82
Proof Example cont.
Let us adopt the following abbreviations:
sunny = “It is sunny”; cold = “It is cold”;
swim = “We will swim”; canoe = “We will canoe”; early = “We will be home early”.
Then, the premises can be written as:
(1) sunny  cold (2) swim  sunny
(3) swim  canoe (4) canoe  early
83
Proof Example cont.
Step Proved by
1. sunny  cold Premise #1.
2. sunny Simplification of 1.
3. swimsunny Premise #2.
4. swim Modus tollens on 2,3.
5. swimcanoe Premise #3.
6. canoe Modus ponens on 4,5.
7. canoeearly Premise #4.
8. early Modus ponens on 6,7.
84
Qui Tắc Suy Diễn
85
86
Qui Tắc Suy Diễn
87
Qui Tắc Suy Diễn
88
Qui Tắc Suy Diễn
89
Qui Tắc Suy Diễn
90
à
91
Bài tập
Đề thi ĐHBK2000
Kiểm tra lại dạng mệnh đề sau là hằng đúng
[p(q  r)] [(p q) (p r)]
2) Đề thi KHTN 2001
Kiểm tra lại tính đúng đắn của suy luận sau
p
q  r
p   r
___________
  q
92
Bài tập
3. Cho p, q, r là các biến mệnh đề. Chứng minh các dạng mệnh đề sau là các hằng đúng:
a) ((p  q)  p)  q.
b) ((p  q) q ) p .
c) ((p  q)  q)  p.
d) (p  q)  ((p q )  0).
e) ((p  q)  (q  r))  (p  r).
f) ((p  q)  r)  ((p  r)  (q  r)).
g) (p  q)  ((q  r)  (p  r)).
93
Bài tập
4. Cho p, q, r là các biến mệnh đề. Chứng minh:
a) ((p ? r) ? (q ? r))?(p ?r)? p ? (q ? r)
((?p? q ??r) ??q ) ?(p ? r)?p?q ? r.
((p ? r)?(q ? r))?(p?q) ??p? q ? ?r
(p ? q) ? (p ? r) ? p ? (q ? r).
94
Bài tập
5. Hãy kiểm tra các suy luận sau:
a)
95
Bài tập
b)
96
Bài tập
c)
97