Toán khó về tam giác cho HSG lớp 5

BÀI TOÁN HAY LUYỆN THI HS GIỎI TOÁN LỚP 5
Ứng dụng tính diện tích và tỷ lệ cạnh/ chiều cao tam giác

I.-Vấn đề đặt ra
Có nhiều bài toán tính diện tích, tỷ lệ ( hoặc độ dài) cạnh hoặc chiều cao tam giác rất khó với HS tiểu học, kể cả HS THCS & PTTH cũng khó giải. Nhưng nếu biết tận dụng những kiến thức đã học cộng với động não một chút thì HS Giỏi tiểu học hoàn thoàn có thể giải được.
Vận dụng công thức tính diện tich tam giác và lý thuyết tỷ lệ, phân số ta có:
Diện tich tam giác = 1/2 chiều cao x cạnh đáy hạ chiều cao
hoặc: S∆1 = 1/2 x a1 x h1 ; S∆2 = 1/2 a2 x h2
suy ra tính chất để so sánh:
1/- Nếu S∆1 = S∆2 thì a1 = a2 ; h1 = h2
2/- Nếu S∆1 & S∆2 khác nhau nhưng có cùng chiều cao thì cạnh đáy tương ứng a1 / a2 = S∆1 / S∆2
3/- Nếu S∆1 & S∆2 khác nhau nhưng có cùng cạnh đáy thì chiều cao cùng hạ xuống đáy h1 / h2 = S∆1 / S∆2

II.- Bài toán mẫu
Bài 1:
Cho ∆ ABC, Trên cạnh AC lấy diểm M sao cho AM=MC; trên AM lấy điểm N sao cho AN=NB. Nối CN và nối BM cát nhau tại O. Hãy so sánh OB với MB, so sánh OC với NC. (Hình 1)

Tóm tắt cách giải bài 1
a/ Xét S∆MNC = 1/2 S∆ANC; S∆ANC = 1/2 S∆ABC
Do đó S∆MNC = 1/2 x 1/2 = 1/4 S∆ABC
Vì có BN=1/2 AB nên S∆ NBC = 1/2 S∆ABC
Suy ra S∆MNC = 1/2 S∆ NBC
Hai tam giác ∆MNC và ∆NBC có chung đáy CN, nếu hạ đường cao MI và BH xuống CN thì MI = 1/2 BH.
Hai tam giác ∆MNO và ∆NBO cũng có chung đáy CN, hai đường cao MI và BH xuống CN
Mà MI = 1/2 BH ; nên S∆MNO = 1/2 S∆NBO
Hai tam giác ∆MNO và ∆NBO lại có chung đỉnh N (nghĩa là nếu hạ đường cao từ N xuống MB thì chúng bằng nhau). nếu S∆MNO = 1/2 S∆NBO thì cạnh đáy OM=1/2 OB.
Vậy OB = 2/3 MB ( Đáp án)

b/ Xét S∆MNB = 1/2 S∆AMB; S∆AMB = 1/2 S∆ABC
Do đó S∆MNB = 1/2 x 1/2 = 1/4 S∆ABC
Vì có CM=1/2 AC nên S∆ MBC = 1/2 S∆ABC
Suy ra S∆MNB = 1/2 S∆ MBC
Suy luận tương tự như phần trên ta có CO = 2/3 CN ( Đáp án)

Bài 2:
Cho ∆ ABC Trên cạnh AC lấy diểm M sao cho AM=2/3 MC; trên AM lấy điểm N sao cho
AN=1/3 NB. Nối CN và nối BM cát nhau tại O.
Hãy so sánh OB với MB, so sánh OC với NC.
(Hình 2)

Nhận xét : Bài 2 tương tự bài 1, chỉ khác các tỷ lệ
lấy điểm M và N.
Hướng giải : cũng tương tự như trên nhưng phép tính phân số phức tạp hơn.

Kết quả được: OM=1/6 OB OB = 6/7 MB
ON= 4/3 OC OC= 3/7 NC
( trên đây chỉ nêu tóm tắt. hướng giải, các bạn có thể tính cụ thể để kiểm tra kết quả)

Bài thực hành:
Dưới đây là một số bài tập cho các số đo cụ thể giúp bạn rèn luyện thêm kỹ năng tính toán

Bài 1
Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = DC; trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = EC. Nối DE, trên DE lấy điểm M sao cho
DM = ME.

Tính S ∆AME biết S ∆ABC = 180 cm2.

(Gợi ý: Sau khi vẽ đúng hình, nối thêm CM, Hãy chứng tỏ S ∆ AME = S ∆ EMC)

Bài 2:
Cho hình tam giác ABC