Toan hinh

Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc và song song trong chương trình Toán THCS
Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc
1.1. Phương pháp chứng minh
1) Chúng song song với hai đường thẳng vuông góc khác
2) Dựa vào định lý: Hai đường thẳng song song đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thứ hai.
3) Chúng là đường cao và cạnh đối diện trong tam giác.
4) Đường kính đi qua trung điểm của dây cung thì vuông góc với dây cung đó.

5) Chúng là phân giác của hai góc kề bù.
6) Tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.
7) Đường trung trực của đoạn thẳng.
8) Tính chất ba đường cao của tam giác.
9) Tính chất của tam giác cân, tam giác đều, hình chữ nhật.
10) Tính chất tiếp tuyến và đường kính tại tiếp điểm.
11) Định lý Pitago.
12) Góc tạo giữa chúng bằng

Ví dụ 1:Bài 2 (SBT toán 7 tập 2 tr 64 )
Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy.Gọi D,E theo thứ tự là trung điểm của OA,OB. Đường vuông góc với OA tại D và đường vuông góc với OB tại E cắt nhau ở C
Chứng ming rằng
a) CE // OD
b)
1.2. Một số ví dụ minh hoạ.
1. Phân tích: vẽ hình và quan sát hình
Việc chứng minh CE // OD ở ý a rất dễ dàng.
Ở ý b để chứng minh ta có thể chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng đó bằng . Điều này chứng minh rất dễ dàng nhờ kết quả ở ý a. Ngoài ra ta còn có nhiều cách chứng minh khác
2. Lời giải
a) Ta có:
=> CE // OD ( vì cùng vuông góc với Oy) (đpcm)
b) Cách 1: (Sử dụng góc tạo bởi 2 đường thẳng bằng )
Tương tự ta có CD // OE ( cùng vuông góc với Ox )
(so le trong)
Mà
(gt)
Vậy
(đpcm)
Tiếp tục phân tích bài toán: Vận dụng kết quả câu a ta có thể chứng minh bằng cách khác: chúng cùng song song với hai đường thẳng vuông góc khác.
Cách 2: (Chứng minh chúng cùng song song với hai đường thẳng vuông góc khác)
Theo câu a ta có CE // OD
Lại có CD // OE (vì và )
Mặt khác (vì )
=>
Cách 3: (Chúng là hai tia phân giác của hai góc kề bù)
Ta có OCA có CD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến (gt)
OCA là
cân
CD là tia phân giác của
(t/c cân)
Tương tự ta cũng có CE là tia phân giác của
Mà
và
là hai góc kề bù
Nếu xem xét bài toán này trong chương trình lớp 8 thì ta có cách giải sau:
Cách 4: (Chúng là hai cạnh kề nhau của hình chữ nhật)
b) Xét tứ giác ECDO có
(vì tổng các góc trong một tứ giác = )
Tứ giác ECDO là hình chữ nhật
Hay
(đpcm)
Nhìn bài toán ở khía cạnh khác ta có thể chứng minh Dựa vào định lý Pitago
Cách 5: (Dựa vào định lý Pitago)
Ta có EC // OD (Vì cùng vuông góc với Oy)
( Góc ở vị trí so le trong)
Xét vuông ECO và vuông DOC có
OC chung


( Chứng minh trên )
vuông ECO = vuông DOC ( cạnh huyền – góc nhọn )
EC = OD; EO = CD ( cặp cạnh tương ứng )
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông EOD ( )
Mà EC = OD; EO = CD (chứng minh trên)
vuông tại C ( theo định lí Pitago )
Ví dụ 2: Bài 10 (trang 187- các dạng toán và phương pháp giải toán 8)
Cho tam giác ABC, các đường cao BD và CE. Gọi M, N là chân các đường vuông góc kẻ từ B, C đến DE. Gọi I là trung điểm của DE, K là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng : KI vuông góc với ED.
Phân tích bài toán : Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta có nhiều cách. Dựa vào giả thiết bài toán cho các đường cao và cho trung điểm ta nghĩ đến đường trung bình hay là các tam giác đặc biệt để giải bài toán.
GT
IE = ID; KB = KC
KL
Cách 1: ( Sử dụng tính chất của tam giác cân
Xét có
DK là đường trung tuyến
Xét có
EK là đường trung tuyến
Từ (1); (2) có DK = EK
cân
( trong tam giác cân đường trung tuyến đồng thời là đường cao đường phân giác)
Nhìn lại bài toán nếu sử dụng kiến thức về đường tròn ở lớp 9 ta có cách giải sau:
Cách 2: (Sử dụng tính chất đường kính đi qua trung điểm của dây cung thì vuông góc với dây cung )
Vì
Nên tứ giác BEDC nội tiếp
(Đường kính đi qua trung điểm dây cung thi vuông góc với dây cung đó)
Ví dụ 3: Bài 19 (SGK Toán 9 tập I_75)
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng SH vuông góc với AB.
Phân tích:
- Từ tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là hai góc vuông.
=> AN và BM là hai đường cao trong
mà
=> Theo tính chất trực tâm tam giác, SH là đường cao
Ta có:
Trong có:
=> AN, BM là hai đường cao của
Lại có:
=> H là trực tâm của
=> SH là đường cao của
Lời giải
Cách 1: (Nó là đường cao và cạnh đối diện trong tam giác )
Phân tích: Ta có thể chứng minh chúng cùng song song với đoạn thẳng thứ 3 bằng cách kẻ tiếp tuyến Bx của đường tròn (O) tại B. Ta tìm cách chứng minh SH // Bx =>
- Kẻ tiếp tuyến Bx với (O) tại B
Tứ giác SMHN có
là tứ giác nội tiếp
- Lại có:
Từ (2) và (3) =>
Mà hai góc này ở vị trí so le trong => SH // Bx (4)
Từ (3) và (4)
Cách 2: (sử dụng định lý: hai đường thẳng song song đường nào
vuông góc với đường thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thứ hai)
1.3. Hệ thống bài tập chứng minh vuông góc.
1. SGK Toán 7 tập I: bài 69 tr 141

2. SGK Toán 7 tập II: bài 59 tr 83, bài 60 tr 83, bài 4 tr 92
3. SBT toán 7 tập I: 16, 17 tr100, 44 tr103, 46 103, 103 110
4. SBT toán 7 tập II: 33 tr27; 39 tr28; 71, 77, 78 tr32; 2 tr64; 6,8 tr65
1. SGK Toán 8 tập I: Bài 3 tr 67
2, SBT Toán 8 tập I: Bài 16 tr 62; 88 tr 69; 149 tr 75; 153 tr 76
3. Nâng cao phát triển Toán 8 tập I: Ví dụ 3 tr 77; ví dụ 8 tr 87; ví dụ 16 tr 96; Bài 52 tr 89; 81 tr 97
4. Nâng cao phát triển toán 8 tập II: Bài 192 t 83; 212 tr 88; 217 tr 89
5. Tuyển tập đề thi môn toán THCS (tác giả Vương Dương Thuỵ - Lê Thống Nhất - Nguyễn Anh Quân): Bài 4 đề 14, 21, 42, 47
1.3.2. Chương trình toán lớp 8
1.3.1 Chương trình toán lớp 7
6. Tuyển chọn 400 bài tập toán 8 ( tác giả Phạm Văn Đức – Nguyễn Hoàng Khang): Bài 251 tr 153
7. Các dạng toán và phương pháp giải toán 8 tập 1 ( tác giả Tôn Thân – Vũ Hữu Bình - Nguyễn Vũ Thanh – Bùi Văn Tuyên): Bài 12 tr 187; 10 tr 202; 11 tr 203;
1.3.3. Chương trình toán lớp 9
SGK Toán 9 tập I: Bài 43 tr 128;
SBT Toán 9 tập I: 129; Bài 31tr 132; Bài 48 tr 134; Bài 62 tr 136; Bài 67 tr 138; Bài 70 tr 138;
Toán 9 tập II: Bài 64(SGK_92);
NCPT Toán 9 tập I: Bài 36 (tr 91); Bài 48 (tr 94); Bài 66(tr 101); Bài 118 (tr 116); Bài 142 (tr 126);
NCPT Toán 9 tập II: Bài 231, 232 (tr 91); Bài 242 (tr 94); Bài 265 (tr 99); Bài 276 (tr 100); Bài 278, 279 (tr 101); Bài 301 (tr 14).
2. Dạng chứng minh hai đường thẳng song song.
2.1. Phương pháp chứng minh.
1) Chúng cùng song song với một đường thẳng thứ ba.
2) Chứng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba.
3) Tạo với cát tuyến hai góc bằng nhau:
a. Ở vị trí so le trong.
b. Ở vị trí so le ngoài.
c. Ở vị trí đồng vị.
4) Là hai dây chắn giữa chúng hai cung bằng nhau trong một đường tròn
5) Sử dụng tính chất hình bình hành.

2.2. Một số ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1: Bài 48 ( SBT toán 7 tập 1 tr 83)
Cho hình vẽ

Biết
Chứng minh rằng: Ax // Cy
6) Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác, hình thang, hình bình hành.
7) Sử dụng định lí Talet đảo
1. Phân tích
Nhìn vào dữ kiện bài toán ta không thể chứng minh trực tiếp Ax // Cy .Nên ta sẽ nghĩ đến chứng minh chúng cùng song song với đường thẳng thứ ba bằng cách kẻ một đường phụ song song với Cy đi qua B
2. Lời giải
Cách 1: (Chúng cùng song song với đường thẳng thứ ba)
Kẻ tia Bz //Cy và tia Cy’ là tia đối của tia Cy
Ta có Bz //Cy ( cách dựng )
(ở vị trí so le trong)
Mà
Ta có
và
là hai góc trong cùng phía
Mà
( theo cách vẽ ) nên
(cùng song song với Bz)
3. Nhìn lại bài toán
Với cách giải này ta cũng có thể kẻ 1 đường thẳng đi qua B và song song với Ax
Ta có cách 2
Cách 2:
Kẻ Bz //Ax và tia Ax’ là tia đối của tia Ax
Tương tự như trên ta có
Ta có
và
là 2 góc trong cùng phía
Mà Bz // Ax (cách vẽ)
(cùng song song với Bz)
Ví dụ 2: Bài 2 (SBT toán 7 tập 2 tr 64 )
Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy.Gọi D,E theo thứ tự là trung điểm của OA,OB. Đường vuông góc với OA tại D và đường vuông góc với OB tại E cắt nhau ở C
Chứng ming rằng: CA // DE
Phân tích: vì bài toán cho D và E theo thứ tự là trung điểm của OA và OB, lại có các đường thẳng vuông góc nên ta nghĩ đến việc chứng minh hai tam giác bằng nhau để từ đó suy ra các góc bằng nhau ở vị trí đặc biệt do ED và CA tạo ra từ đó chứng minh ED // CA.
Lời giải
Cách 1 (Tạo với một cát tuyến hai góc bằng nhau)
Xét vuông OCE và vuông COD có
(so le trong)
OC chung
(Cạnh huyền – góc nhọn)
CE = OD
Mà OD = DA
CE = DA
Xét
và
có
CE = DA
(cùng = )
CD chung
(c.g.c)
(vì 2 góc ở vị trí so le trong bằng nhau )
Tiếp tục phân tích bài toán ta có thể chứng minh ED // CA dựa vào tính chất hình bình hành.
Cách 2 (Sử dụng tính chất hình bình hành )
Tứ giác ECDO là hình chữ nhật (vì có 4 góc vuông)
EC = OD mà OD = DA (gt)
EC = DA
Lại có EC // DA (cùng vuông góc Oy)
tứ giác ECDA là hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết hbh)
(cặp cạnh đối trong hbh)
Ví dụ 3: (SBT 8- tập 2 – tr 69)
Tam giác cân ABC có BA = BC = a, AC = b. Đường phân giác góc A cắt BC tại M, đường phân giác của góc C cắt BA tại N.
Chứng minh rằng: MN // AC.
Phân tích: Để chứng minh MN // AC có nhiều cách để chứng minh. Theo bài ra cho các đường phân giác của các góc vì thế ta sẽ sử dụng tính chất đường phân giác đưa ra các tỉ lệ bằng nhau, từ đó áp dụng định lý Talet đảo để chứng minh MN // AC
Lời giải:
Cách 1 (Sử dụng định lý Talet đảo)
Vì CN là tia phân giác của góc C nên
Vì AM là tia phân giác của góc A nên
Mặt khác tam giác ABC cân tại B => BA=BC
MN // AC (theo định lí Talet đảo)
Tiếp tục phân tích bài toán:
Nếu ta gọi O là giao điểm của AM và CN thì khi đó ta có
Như vậy ta có cách 2 để chứng minh MN // AC đó là sử dụng cách chứng minh chúng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3.
Cách 2: (chứng minh chúng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3
Gọi O là giao điểm của CN và AM => (Vì tam giác ABC cân)
Lại có
Vì AB = BC (gt)
Là góc chung
cân
(Vì BO là tia phân giác) (2)
(1)
(1) và (2) => MN // AC
Ngoài ra ta có thể dử dụng kiến thức về đường tròn để chứng minh cặp góc đồng vị bằng nhau từ đó ta chứng minh MN // AC
Cách 3: (Chứng minh cặp góc đồng vị bằng nhau)
Vì => tứ giác MNAC nội tiếp đường tròn
=>
Mặt khác (vì ABC là tam giác cân)
=> => MN // AC (Tính chất hai đường thẳng song song)
Ví dụ 2: Bài 48 (SBT Toán 9 tập I trang 134)
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm). Vẽ đường kính NOC.
Chứng minh rằng AO // MN.
Cách 1 ( chứng minh nó cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3)
Ta có: AM, AN là các tiếp tuyến của đường tròn (O)
Mặt khác: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Từ (1) và (2) => AO // MC
Cách 2 (Sử dụng tính chất đường trung bình)
Gọi
Vì AM, AN là hai tiếp tuyến của đường tròn (O)
H là trung điểm của MN
MH = HN
Lại có: CO = ON
HO là đường trung bình của tam giác MNC.
HO // MC
AO // MC
Cách 3 (Sử dụng hai dây chắn cung)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong => IE // MC => AO // MC
Cách 4 (Sử dụng tính chất cặp góc so le trong)
Xét tam giác cân MCO có:
Lại có:
Mà hai góc này ở vị trí so le trong => AO // MC
2.3. Hệ thống bài tập về chứng minh song song
2.3.1 chương trình lớp 7
1. SGK Toán 7 tập I: 26 tr 91, 8 tr 109, 45 tr 125;
2. SBT toán 7 tập I: 48, 49 tr 83; 6 tr 98; 34, 41 tr 102; 45 tr 103; 64, 68 tr 106; 73 tr107;
3. SBT toán 7 tập II: 37 tr 28; 76 tr 32;
4. Nâng cao và phát triển toán 7 tập I: VD 4 tr 58, 10 tr 59, 21 tr 62, 40 tr 68;
5. Nâng cao và phát triển toán 7 tập II: 153 tr 62, 178 tr 65.
1, Toán 8 tập 1: Bài 45, 49 tr 92
2, SBT toán 8 tập 1: Bài 36, 38 tr 64; 43 tr 65; 82 tr 68; 122 tr 73; 155 tr 76
3, Toán 8 tập 2: Bài 17 tr 68; 58 tr 92; 61 tr 92
4. SBT toán 8 tập 2: Bài 19 tr 69; 46 tr 75
5. Nâng cao phát triển toán 8 tập 1: Bài 51 tr 88; 52 tr 89; 96 tr 100
6. Nâng cao phát triển toán 8 tập 2: Ví dụ 35 tr 86; ví dụ 36 tr 89; bài 208 tr 86; 210, 211, 214, 216 tr 88;, bài 220, 222, 224, 225 tr 91; 251 tr 96
7. Tuyển tập đề thi môn toán THCS (tác giả Vương Dương Thuỵ - Lê Thống Nhất - Nguyễn Anh Quân): Bài 3 đề 5
8. Tuyển chọn 400 bài tập toán 8 ( tác giả Phạm Văn Đức – Nguyễn Hoàng Khang): Bài 240 tr 146; 241 tr 147
2.3.2. Chương trình lớp 8
9. Tuyển chọn bài thi học sinh giỏi toán THCS (tác giả Lê Hồng Đức): Bài 46 tr 46
10. Các dạng toán và phương pháp giải toán 8 tập 1 ( tác giả Tôn Thân – Vũ Hữu Bình - Nguyễn Vũ Thanh – Bùi Văn Tuyên): Bài 5 tr 162; 15 tr 163; 8 tr 176; 19 tr 177; 6 tr 187.
2.3.3. Chương trình toán lớp 9:
SGK Toán 9 tập I: Bài 33 tr 119;
SBT Toán 9 tập I: Bài 97 tr 105; Bài 48 tr 134; Bài 4 tr 139; Bài 91 tr 140;
Toán 9 tập II: Bài 42 tr 83; Bài 60 tr 90;
NCPT Toán 9 tập I: Bài 74 tr 104; Bài 138 tr 121; Bài 150 tr 127; Bài 173 tr 129;
NCPT Toán 9 tập II: Bài 221 tr 90; Bài 235 tr 92; Bài 271 tr 100; Bài 277 tr 101; Bài 308 tr 107; Bài 317 tr 108.
Danh sách nhóm:
1. Phạm Thị Thanh Bình
2.Đỗ Thị Huê
3. Nguyễn Thị Len
4. Trần Thị Thuý
5. Lưu Thị Ánh Vân