Toán Cấp số cộng cho HS lớp 5-6

Bài toán áp dụng cấp số cộng cho HS lớp 5 - 6
I./ Giới thiệu :
Có câu chuyện kể rằng Carl Friedrich Gauss khi học tiểu học đẫ trả lới thầy giáo ngay sau khi thày cho bài tập tính tổng của 100 số tự nhiên dương đầu tiên ( tổng đó là 5050).Trước đó, Nhà toán học “Nhí” Friedrich Gauss đã nắm được công thức tính tổng của n số tự nhiên và biết các số TN chính là một trong các dãy số theo qui tắc cấp số cộng.
Hiện nay, cấp só công chưa chính thức có trong chương trình tiểu học, nhưng rất nhiều đề thi HSG lớp 5 (hoặc Khảo sát HS lớp 6) đã có những đề toán liên quan. Nếu HS được giới thiệu trước thì giải các đề này dễ dàng.
II./ Khái niệm & Công thức
1.1/ Cấp số cộng là một dãy số thoả mãn điều kiện: hai phần tử liên tiếp nhau sai khác nhau một hằng số. Chẳng hạn, dãy số 3, 5, 7, 9, 11, ... là một cấp số cộng với các phân tử liên tiếp sai khác nhau hằng số 2.
- Hằng số sai khác chung được gọi là công sai của cấp số cộng.
- Các phần tử của cấp số cộng cũng được gọi là các số hạng.
1,2/ Số hạng tổng quát
Nếu cấp số cộng khởi đầu là phần tử u1 và công sai là d, thì số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức:

(1(
1.3/ Tổng của n số hạng
Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng được gọi là tổng riêng thứ n. Ta có:

(2(

II Bài toán
1./ Bài toán mẫu
1.1 / Tính tống của n số lẻ đầu tiên 1 + 3 + 5 + ....(2,n - 1)
Áp dụng công thức (2( S = n x (1 + 2.n – 1) : 2 = n ²
1.2/ Tổng của n số chẵn đầu tiên 2 +4 + 6 + .....2.n = n, (n +1)



2./Bài toán thực hành ( cấp số cộng ).

* B 1 ; Các số tự nhiên từ 1 đến 100 có thể xêp thành hai dãy số : dãy số chẵn và dãy số lẻ. Hỏi dãy nào có tổng các chữ số lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu?

* B2 ; Tính giá trị của biểu thức một cách hợp lí:
A = 500 +400 + 300 + 200 + 100 + 98 + 96 + ….+ 2 -99 - 97 – 95 - …- 1 ;
B = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 – 11 – 12 - …- 299 – 330

III. Một số dãy sô khác.
Sau đây là một số dãy số đặc biệt khác với HS lớp 6 ( có học về lũy thừa )

1./ Bình phương số TN n. ( n+1) . (2.n + 1)
1² + 2² + 3² + 4² + ........+ n² = --------------------------
6
2./ Bình phương số lẻ n. (4.n² - 1)
1² + 35² + 7² + .....+ (2. n - 1 = -------------------
3

Bài thực hành:
Chứng tỏ rắng Tổng số S = 1² + 35² + 7² + 9² chia hết cho 3 và 5.
(Trình bày bằng 2 cách)