Toan 6

rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan

a . kiến thức cần nhớ :
* Để rút gọn BTĐS ta cần đặt đk cho sự tồn tại của các biểu thức( Nếu đề bài chưa cho sẵn): đưa đk lên
Thông thường, muốn rút gọn phân thức, trước hết cần phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử sao cho xuất hiện nhân tử chung ở tử và mẫu, do đó cần ghi nhớ các kiến thức cơ bản sau:
* Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
*Bsung: Nếu đa thức f(x) có nghiệm x=a thì f(x) chia hết cho x-a. Khi đó: f(x)=(x-a).g(x), trong đó g(x) có bậc ít hơn f(x) là 1.
I , Hằng đẳng thức đáng nhớ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. = A nếu A 0
- A nếu A < 0
II . Một số kiến thức cần chú ý :
Với x 0 thì x =


với mọi x 0
2 , Điều kiện để có nghĩa <=> A 0

Điều kiện để có nghĩa <=> B 0
3 , Chú ý :

A.B 0 <=>


nếu n chẵn
nếu n lẽ


Phép tính về căn thức bậc hai có các quy tắc riêng cần nhớ:
Căn bậc ba


nếu a <0
nếu a = 0
nếu a >0
B . Bài tập :
Bài 1 : Cho biểu thức :

a, Tìm điều kiện để D xác định
b , Rút gọn D
c, Tìm a để D = 4
Hướng dẫn :
a, Điều kiện để D xác định :
b , Rút gọn D





c, D = 4 <=> = 4 <=> a + 9 = 4( a- 9 )
<=> a - 4a = - 36 - 9 <=> a= 15 ( TMĐK )

Bài 2 : Cho biểu thức


a, Tìm điều kiện để P xác định
b , Rút gọn P
c, Tính giá trị của P tại x = 4+ 2 Hướng dẫn : Cần giải thích cụ thể cho HS các đk
a, Điều kiện để P xác định :
b , Rút gọn P







c, Ta có : x = 4+ = 3+ + 1 =

Thay vào P ta có :

bài 3 : Cho biểu thức


a, Tìm điều kiện để P xác định
b , Rút gọn P
c , Xét xem có tồn tại a để
Hướng dẫn :Lưu ý cho HS có những biểu thức phải biến đổi rồi mới đặt đk
Hướng dẫn :Lưu ý cho HS có những biểu thức phải biến đổi rồi mới đặt đk
a, Điều kiện để P xác định :
b , Rút gọn P :
c.





vì

(không thoả mãn ĐK)
Vậy không tồn tại giá trị a để P = -
bài 4 : Cho biểu thức


a , Rút gọn K
b, Tính giá trị của K tại
c , Tìm các giá trị của a sao cho K < 0
Hướng dẫn
a, Điều kiện để K xác định
b , Ta có:

c,

Vậy 0 < a < 1 thì K < 0

Bài 5 : Cho biểu thức :
a , Rút gọn A
b , Tìm x để A = 1,5
c , Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên

Hướng dẫn
a, Điều kiện để A xác định:
Vậy không tồn tại giá trị của x để A = 1,5
c , Để

Ta có


Để



Mà Ư(6) = (vì )
(TMĐKXĐ)
(TMĐKXĐ)
(TMĐKXĐ)


bài 6 : Cho biểu thức

a, Tìm điều kiện để A xác định
b , Rút gọn A
c , Tìm x để x.A = 9
Hướng dẫn
a, Điều kiện để A xác định :
b , Rút gọn A
c , Ta có:



Đặt
Ta có: t2 - 9t + 18 = 0 (*)
Giải ra ta được t1 = 6; t2 = 3
Với t1 = 6 => x = 36 ( BPHV)
Với t2 = 3 => x = 9 ( BPHV)
Bài 7 : Cho biểu thức

a, Tìm điều kiện để A có nghĩa
b, Rút gọn A
c, So sánh A với - 3
d , Tìm giá trị lớn nhất của A
Hướng dẫn
a, Điều kiện để A xác định
b, Rút gọn A







c) Với điều kiện
Ta có: A-(-3) = A + 3 = > 0 hay A > - 3
Bài tập:
Bài 1: Rút gọn các biểu thức:

a)

b)

c)


Bài 2: Cho biểu thức:
a) Rút gọn M ?
b) Tìm x sao cho M > 0 ?
Bài 3: Cho biểu thức:


a) Rút gọn Q ?
b) Chứng minh Q > 1 ?
Bài 4: Cho biểu thức:


a) Rút gọn S ?
b) Tìm x để S = 1?
c) Tìm x để S < 0 ?
d) Tìm x nguyên để S có giá trị nguyên
Giải bài toán bằng cách lập phương trình , hệ phương trình
A . kiến thức cần nhớ :
Để giải bài toán bằng cách lập phương trình , hệ phương trình ta tiến hành các bước sau:
Bước 1 : Lập phương trình:
- Chọn ẩn và đặt điều kiện
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết
-Lập phương trình (hệ pt ) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2 : Giải phương trình ( hay hệ phương trình )
Bước 3 : Trả lời : Kiểm tra , đối chiếu điều kiện và kết luận
B . bài tập :
Dạng 1 : toán có nội dung hình học
(Lưu ý chung kích thước các loại hình thì đk các đại lượng phải dương)
Chú ý :
hình chữ nhật
Có chiều dài là x , chiều rộng là y ( Nếu gọi cụ thể CD và CR thì phải có đk: x y>0)
Ta có chu vi = ( x+ y ) . 2
Diện tích = x . y

Tam giác vuông
Cạnh góc vuông thứ nhất là x
Cạnh góc vuông thứ hai là y
Cạnh huyền là z
Ta có : chu vi = x + y + z
Diện tích = x.y
z2 = x2 + y2 ( Định lý PITAGO )
Bài 1 : Một sân trường hình chữ nhật có chu vi là 340 m ; 3 lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20 m . Tính chiều dài và chiều rộng của sân trường.
Hướng dẫn :
Tóm tắt : ( d + r ) . 2 = 340
3d - 4 r = 20
Tính chiều dài và chiều rộng của sân trường
Bài giải :
Gọi chiều dài là x ( m)
Gọi chiều rộng là y ( m) ĐK : x , y > 0
Ta lập được hệ phương trình:

=> x = 100 ; y = 70 ( TMĐK)
Vậy chiều dài là 100 ( m)
chiều rộng là 70 ( m) :
Bài 2 : Một sân trường hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là 12 m . Tính chiều dài và chiều rộng của sân trường . Biết diện tích là 325 m2
Hướng dẫn :
Tóm tắt :
d - r = 12
d . r = 325
Tính chiều dài và chiều rộng của sân trường
Bài giải : Gọi chiều dài là x ( m)
Vậy chiều rộng là x - 12 ( m) ĐK : x , y > 0
Ta lập được phương trình : x . ( x - 12 ) = 325
=> x1 = 25 ( TMĐK) ; x2 = - 13 (Không TMĐK)
Vậy chiều dài là 25 ( m)
chiều rộng là 25 - 12 = 13 ( m)
Bài 3 : Một sân trường hình chữ nhật có diện tích 360 m2 . Nếu tăng chiều rộng lên 2m và giảm chiều dài 6 m thì diện tích không đổi . Tính chu vi của hình chữ nhật lúc ban đầu
Hướng dẫn :
Tóm tắt : d . r = 360
( d - 6 ) . ( r + 2 ) = d . r
Tính chu vi của hình chữ nhật lúc ban đầu
Bài giải : Gọi chiều dài lúc ban đầu là x ( m)
Gọi chiều rộng lúc ban đầu là y ( m) ĐK : x > 6, y > 0

Ta lập được hệ phương trình:

=> y1 = 12 ( TMĐK) ; y2 = - 10 ( Không TMĐK)
Vậy chiều dài là 360 : 12 = 30 ( m)
chiều rộng là 25 - 12 = 360 : 12 = ( m)
Bài 4: Một hình chữ nhật có diện tích 40 m2 . Nếu tăng chiều rộng lên 3m và chiều dài 3 m thì diện tích tăng 48 m2. Tính chu vi của hình chữ nhật lúc ban đầu
Hướng dẫn :
Tóm tắt : d . r = 40
( d + 3 ) . ( r + 3 ) = d . r + 48
Tính chu vi của hình chữ nhật lúc ban đầu?
Bài giải : Gọi chiều dài lúc ban đầu là x ( m)
Gọi chiều rộng lúc ban đầu là y ( m) ĐK : x > 6, y > 0
Ta lập được hệ phương trình:

=> x1 = 5 ( Không thoã mãn ĐK ) ; x2 = 8 ( TMĐK)
=> y = 5
Vậy chiều dài là 8 ( m)
chiều rộng là 5 ( m)
bài tập :
Bài 1: Một sân trường hình chữ nhật có diện tích 720 m2 . Nếu tăng chiều dài lên 6m và giảm chiều rộng 4 m thì diện tích không đổi . Tính chu vi của hình chữ nhật lúc ban đầu
Bài 2: Chiều dài của một hình chữ nhật lớn hơn chiều rộng 3 m . Tính chiều dài và chiều rộng . Biết chu vi là 26 m
Bài 3 : Chiều dài của một hình chữ nhật lớn hơn chiều rộng 5 m . Tính chiều dài và chiều rộng . Biết diện tích là 300 m2
Câu 4 : Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 18 m và diện tích 20m2 . Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.
dạng toán làm chung - làm riêng
Chú ý:
Nếu x giờ làm xong 1 công việc, vậy 1 giờ làm được công việc

Bài 1 : Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16h thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3h , người thứ hai làm trong 6h thì hoàn thành được 25% công việc . Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?
Hướng dẫn :
Tóm tắt : Cùng làm trong 16h thì xong
Người 1 làm trong 3h
được 25% công việc
Người 2 làm trong 6h
Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu .
Bài giải :
Gọi x (giờ) là thời gian người thứ nhất làm một mình để hoàn thành công việc .
Gọi y (giờ) là thời gian người thứ hai làm một mình để hoàn thành công việc .
ĐK : x ; y > 0
1h người thứ nhất làm được công việc
1h người thứ hai làm được công việc
Cùng làm trong 16h thì xong ta có phương trình (1)

3h người 1 làm được:

6h người 2 làm được:
Ta có phương trình: (2)


Từ (1 ) và ( 2) ta có hệ phương trình:


Giải hệ ta được x = 24 ; y = 48
Vậy thời gian người thứ nhất làm một mình để hoàn thành công việc là 24 giờ
Thời gian người thứ hai làm một mình để hoàn thành công việc là 48 giờ


Bài 2 : Hai người thợ cùng cùng xây một bức tường trong 7h 12p thì xong (vôi vữa và gạch có công nhân khác vận chuyển ) . Nếu người thứ nhất làm trong 5h , người thứ hai làm trong 6h thì cả hai xây được 3/ 4 bức tường . Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người xây xong bức tường đó trong bao lâu?
Hướng dẫn :
Tóm tắt : Cùng làm trong 7h 12p = 36/5 giờ thì xong
Người 1 làm trong 5h
được 3/4 bức tường
Người 2 làm trong 6h
Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người xây xong bức tường đó trong bao lâu?
Bài giải
Gọi x (giờ) là thời gian người thứ nhất làm một mình để xây xong bức tường.
Gọi y (giờ) là thời gian người thứ hai làm một mình để xây xong bức tường.
ĐK : x ; y > 0
1h người thứ nhất làm được công việc

1h người thứ hai làm được công việc
Cùng làm trong 36/5 giờ thì xong ta có phương trình:

( 1 )

5h người 1 làm được

6h người 2 làm được.
Ta có phương trình: (2)


Từ (1 ) và ( 2) ta có hệ phương trình:


Giải hệ ta được x = 12 ; y = 18
Vậy:
Người thứ nhất làm một mình để xây xong bức tường là 12 giờ
Người thứ hai làm một mình để xây xong bức tường là 18 giờ
bài tập :
Bài 1 : Hai người thợ cùng làm một công việc trong 8 ngày thì xong . Nếu người thứ nhất làm trong 3 ngày , người thứ hai làm trong 4 ngày thì hoàn thành được 5/12 công việc . Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu

Bài 2 : Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 8 giờ bể đầy . Nếu vòi 1 chảy trong 3 giờ và vòi 2 chảy trong 4 giờ thì được 5/12 bể . Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì bao lâu đầy bể

Bài 3 : Hai người thợ cùng làm một công việc trong 8 ngày thì xong . Nếu hai người làm chung được 6 ngày thì người thứ nhất nghỉ người thứ hai tiếp tục làm trong 6 ngày thì mới hoàn thành công việc . Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu

Bài 4 : Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong 4 ngày thì xong việc . Nếu người thứ nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc . Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu
dạng toán năng suất - phần trăm
Chú ý : Nếu trong tháng đầu làm được x sản phẩm , tháng hai vượt mức a% vậy tháng hai làm được: x +

Bài 1 : Trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất được 800 chi tiết máy , sang tháng thứ hai tổ một vượt mức 15% , tổ hai vượt mức 20% , do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy . Hỏi rằng trong tháng đầu mỗi tổ công nhân sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy .
Hướng dẫn:
Tóm tắt :
Tháng 1 : Cả hai tổ sản xuất được 800 chi tiết máy
Tháng 2 : Tổ một vượt mức 15%
Được 945 chi tiết máy
Tổ hai vượt mức 20%

Bài giải :
Gọi số chi tiết máy trong tháng đầu tổ một sản xuất được là x .
Gọi số chi tiết máy trong tháng đầu tổ hai sản xuất được là y
ĐK : x ; y > 0
Vậy trong tháng hai: Tổ một sản xuất được:

Tổ hai sản xuất được:

Ta có hệ phương trình

=> x = 300 ; y = 500
Vậy số chi tiết máy trong tháng đầu tổ một sản xuất được là 300 .
số chi tiết máy trong tháng đầu tổ hai sản xuất được là 500
Bài 2 : Một đội công nhân hoàn thành công việc với mức 420 ngày công thợ . Tính số công nhân biết rằng nếu đội tăng 5 người thì số ngày hoàn thành giảm 7 ngày
Hướng dẫn :
Tóm tắt :
x người hoàn thành công việc với mức 420 ngày công thợ
1 người làm trong ngày
Ta có :

Bài giải : Gọi số công nhân của đội là x ( người )
ĐK : x > 0 ; x N
Ta lập được phương trình :
=> x = 15 ( TMĐK )
Vậy số công nhân của đội là 15 ( người )
Bài 3 : Một xí nghiệp dự định điều một số xe chở 120 tấn hàng . Nếu mỗi xe chở thêm một tấn so với dự định thì số xe giảm 4 chiếc . Tính số xe dự định điều động
Hướng dẫn :
Tóm tắt :
x xe chở 120 tấn vậy mỗi xe chở tấn
x - 4 xe chở 120 tấn vậy mỗi xe chở tấn
Ta có :

Bài giải: Gọi số xe dự định điều động là x
ĐK : x > 0 ; x N
Ta lập được phương trình :

=> x = 24 ( TMĐK )
Vậy số xe dự định điều động là 24 xe
Bài tập :
Bài 1 : Theo kế hoạch dự định , cả hai xưởng cơ khí mỗi ngày sản xuất được 385 nông cụ . Nhưng do cải tiến kỹ thuật nên xưởng thứ nhất mỗi ngày sản xuất vượt mức 20% kế hoạch dự định . Xưởng thứ hai mỗi ngày sản xuất vượt mức 12% kế hoạch dự định . Vì thế mỗi ngày cả hai xưởng sản xuất được 442 nông cụ . Hỏi theo kế hoạch dự định mỗi ngày mỗi xưởng sản xuất được bao nhiêu nông cụ .
Bài 2 : Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định . Do áp dụng kỷ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21% vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm . Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch
Bài 3 : Một đội xe vận chuyển 28 tấn hàng đến một địa điểm quy định . Vì lí do đột xuất trong đội có 2 xe phải điều động đi làm việc khác nên mỗi xe phải chở thêm 0,7 tấn . Tính số xe lúc đầu của đội
dạng toán chuyển động
Chú ý : s : quảng đường . Đơn vị : km ; m
v : vận tốc km/ h ; m / s
t : thời gian h ; s
Công thức : s = v . t => v =
t =
Các đại lượng S, v,t đều dương.
Bài 1 : Một người đi xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 100 km . Khi trở về do trời tối nên giảm vận tốc 10 km/h so với lúc đi nên thời gian về nhiều hơn lúc đi là 30 phút . Tính vận tốc lúc đi và lúc về .
Hướng dẫn :
Tóm tắt :
Đổi : 30 p = 1/2 ( h )
S = 100 km
Vvề = Vđi - 10
tvề = tđi + 1/ 2
Tính vận tốc lúc đi và lúc về .
Bài giải : Gọi vận tốc lúc đi là v1 ( km/h )
Vận tốc lúc về là v2 ( km/ h )
ĐK v1 > 10 ; v2 > 0
Ta có phương trình : v2 = v1 - 10 (1)

Thời gian đi là ; Thời gian về là

Ta có phương trình: (2)


Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có hệ phương trình :

=> v1 = 50 ; v2 = 40 ( TMĐK )
Vậy vận tốc lúc đi là 50 ( km/h )
Vận tốc lúc về là 40 ( km/h )
Bài 2 : Một xe ôtô đi từ A đến B dài 120km trong một thời gian dự định .Sau khi đi được nửa quảng đường đầu thì xe tăng vận tốc thêm 10 km h nên xe đến B sớm 12 phút so với dự định . Tính vận tốc ban đầu của xe .
Hướng dẫn :
Tóm tắt : Đổi 12 p = 1/5 ( h)
s1 =s2 = 60
v2 = v1 + 10
t2 = t1 - 1/5
Trong đó: s1 là nửa quảng đường đầu
s2 là nửa quảng đường sau
v1 là vận tốc trên nữa quảng đường đầu
v2 là vận tốc trên nữa quảng đường sau
t1 là thời gian trên nữa quảng đường đầu
t2 là thời gian trên nữa quảng đường sau
Bài giải : Gọi vận tốc ban đầu của xe là x ( km/ h )
ĐK x > 0
Vậy vận tốc trên nữa quảng đường sau là x+ 10
Thời gian đi trên nữa quảng đường đầu là
Thời gian đi trên nữa quảng đường sau là
Ta có phương trình :

=> x1= 50 ; x2 =-60 ( loại )
Vậy vận tốc ban đầu của xe là 50 ( km/h )
Bài 3 : Một người dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định . Nếu người đó tăng vận tốc thêm 7 km /h thì đến B sớm 1 giờ . Nếu người đó giảm vận tốc 5 km/h thì đến B muộn 1 giờ so với dự định . Tính vận tốc và thời gian dự định của người đó .
Hướng dẫn :
Tóm tắt : Nếu vận tốc là x
thời gian dự định là y Ta có quảng đường là x. y
( x + 7 ) . ( y - 1 ) = x . y
( x - 5 ) . ( y + 1 ) = x .y
Bài giải : : Gọi vận tốc là x ( km /h )
ĐK : x > 5 ; y > 1
thời gian dự định là y (giờ)
Ta có quảng đường là x. y
Ta lập được hệ phương trình

=> x = 35 ; y = 6 ( TMĐK )
Vậy vận tốc là 35 ( km / h ) ĐK : x > 5 ; y > 1
thời gian dự định là y ( giờ )
chú ý dạng toán chuyển động trên dòng sông
Nếu vận tốc thực là x ; vận tốc dòng nước là y
ĐK : x > y
Vậy vận tốc khi xuôi dòng là x + y
Vận tốc khi ngược dòng là x - y
sxuôi dòng = vxuôi dòng . txuôi dòng
sngược dòng = vngược dòng . tngược dòng
Bài 4 : Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km . Một ca nô đi từ bến A đến bến B , nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A . Kể từ lúc khởi hành , đến khi về tới bến A hết tất cả 6 giờ . Hãy tìm vận tốc của ca nô trong nước yên lặng , biết rằng vận tốc của nước chaỷ là 3 km/ h
Hướng dẫn :
Tóm tắt : s = 30 km
tđi + t về + 2/3 = 6
vnước = 3 km/h
Hãy tìm vận tốc của ca nô trong nước yên lặng
Bài giải: Gọi vận tốc của ca nô trong nước yên lặng là x ( km /h )
ĐK : x > 3
Vậy vận tốc xuôi dòng là x + 3
Vậy vận tốc ngược dòng là x - 3

Thời gian xuôi dòng là

Thời gian ngược dòng là

Ta có phương trình là

x = 12 (km/h )
Vậy vận tốc ca nô khi nước yên lặng là 12 km / h
Bài tập :
Bài 1 : Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đến B . Ôtô thứ nhất chạy nhanh hơn ôtô thứ hai 10 km /h nên đến B trước 30 phút . Tính vận tốc mỗi xe biết quảng đường AB dài 100km
Bài 2 : Một ôtô dự định đi từ A đến B với vận tốc dự định ban đầu là 50 km/h , lúc đầu ôtô đi với vận tốc đó , được nữa quảng đường do đường xấu nên người lái xe giảm vận tốc 10 km / h nên đến B chậm 30 phút so với dự định . Tính quảng đường AB .
Bài 3 : Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 108 km . Cả đi xuôi dòng và về ngược dòng hết 10 giờ 30 phút . Tính vận tốc tàu thuỷ khi nước yên lặng ? Biết vận tốc dòng nước là 3 km /h

Bài 4 : Một ca nô xuôi dòng 42 km và ngược trở lại 20 km mất tổng cộng 5 giờ . Biêt vận tốc dòng nước là 2 km / h . Tính vận tốc thực của ca nô
Bài 5 : Quảng đường thanh hoá - hà nội dài 150 km . Một ôtô từ hà nội vào thanh hoá . nghỉ lại thanh hoá 3 giờ 15 phút , rồi trở về hà nội , hết tất cả 10 giờ . Tính vận tốc của ôtô lúc về , biết rằng vận tốc lúc đi lớn hơn vận tốc lúc về là 10 km /h
Câu6 : Một người đi xe đạp từ địa điểm A đến B trong một thời gian đã định . Khi còn cách B 30 km nhận thấy nếu không tăng vận tốc thì sẽ đến B chậm mất nữa giờ , do đó người ấy đã tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đén B sớm hơn dự định nữa giờ .Tính vận tốc ban đầu của người đi xe đạp.
dạng toán tìm số
Chú ý : Là số có hai chữ số
= 10.a + b
nếu viết theo thứ tự ngược lại ta có = 10 . b + a
Nếu a chia cho b được thương là c dư k
Ta có : a = b . c + k
Bài 1 : Tìm một số có hai chữ số . Biết rằng tổng hai chữ số bằng 10 và khi thay đổi chổ hai chữ số cho nhau ta được số mới lớn hơn số củ 36 đơn vị
Hướng dẫn : Tóm tắt : số có hai chữ số
a + b = 10

Tìm
Bài giải : Gọi số có hai chữ số là
ĐK : 0 < a < 10 ;








Ta lập được hệ phương trình:



=> a = 3 ; b = 7 ( TMĐK )
Vậy số có hai chữ số là 37
Bài 2 : Tìm một số có hai chữ số biết rằng 2 lần chữ số hàng chục lớn hơn 5 lần chữ số hàng đơn vị là 1 và chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị được thương là 2 và số dư cũng là 2
Hướng dẫn :
Tóm tắt : số có hai chữ số ; 2a - 5b = 1
a = 2 . b + 2
Bài giải : Gọi số có hai chữ số là
ĐK : 0 < a < 10
Ta lập được hệ phương trình:

=> a = 8 ; b = 3
Vậy số có hai chữ số là 37
Bài 3 : Tổng của hai số bằng 59 . Hai lần số này bé hơn 3 lần số kia là 7 . Tìm hai số đó
Hướng dẫn : Tóm tắt : st1 + st2 = 59
3st1 - 2st2 = 7
Tìm hai số đó
Bài giải : Gọi số thứ nhất là x
Số thứ hai là y
Ta có hệ phương trình :

=> x = 34 ; y = 25
Vậy: Số thứ nhất là 34
Số thứ hai là 25
Bài tập
Bài 1: Tìm một số có hai chữ số biết rằng số đó có tổng hai chữ số là 13 và tích hai chữ số ấy là 40
Bài 2 : Tìm một số có hai chữ số , biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chỡ số hàng đơn vị là 2 , và nếu thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được số mới lớn hơn số ban đầu là 682 .
Bài 3 : Cho một số có hai chữ số . Nếu đổi hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 63 . Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99 . Tìm số đã cho
một số dạng khác
Bài 1 : Trong một phòng có 288 ghế được xếp thành các dãy , mỗi dãy đều có số ghế như nhau . Nếu ta bớt đi 2 dãy ghế và mỗi dãy còn lại thêm 2 ghế thì vừa đủ cho 288 người họp ( mỗi người ngồi 1 ghế ) . Hỏi trong phòng có mấy dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế ?
Hướng dẫn : Tóm tắt :
Nếu có x dãy ghế và mỗi dãy có y ghế
Ta có x . y = 288
( x - 2 ) . ( y + 2 ) = 288
Bài 2 : Một phòng họp có 360 chỗ ngồi và được chia thành các dãy có số chỗ ngồi bằng nhau . Nếu thêm cho mỗi dãy 4 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy thì số chỗ ngồi trong phòng họp không thay đổi . Hỏi ban đầu số chỗ ngồi trong phòng họp được chia bao nhiêu dãy ?
Hướng dẫn :
Tóm tắt : Nếu trong phòng họp có x dãy ghế
Vậy 1 dãy có ghế
Ta có:
Bài 3 : Trong phòng học có một số ghế dài . Nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học sinh không có chỗ . Nếu xếp mỗi ghế 4 học sinh thì thừa 1 ghế . Hỏi lớp có bao nhiêu ghế và bao nhiêu học sinh
Hướng dẫn : Tóm tắt : Nếu lớp có x ghế và có số học sinh là y
Ta có 3x + 6 = y
4 ( x - 1 ) = y
Bài 4 : Một xe lửa phải vận chuyển một lượng hàng . Nếu xếp vào mỗi toa 15 tấn hàng thì còn thừa lại 13 tấn , nếu xếp mỗi toa 16 tấn thì còn có thể chở thêm 5 tấn nữa . Hỏi xe lửa có mấy toa và phải chở bao nhiêu tấn hàng ?
Hướng dẫn : Tóm tắt : Nếu lượng hàng cần vận chuyển là x ;
số toa tàu là y
Ta có : 15y = x - 3
16 y = x + 5
Câu 5 : Một phòng họp chứa được 300 chỗ . Nếu thêm 2 chổ vào mỗi dãy ghế và bớt đi 3 dãy ghế thì sẽ bớt đi 11 chỗ ngồi . Hỏi phòng họp có bao nhiêu dãy ghế?

Phương trình bậc hai một ẩn

I. Phần lý thuyết:
1. ĐN: Phương trình bậc hai một ẩn
Có dạng: ax2 + bx + c = 0 (a0)
x là ẩn ; a, b, c R
2. Công thức nghiệm: ? = b2 - 4ac
Nếu ? > 0 pt có 2 nghiệm phân biệt .

Nếu ? = 0 thì pt có nghiệm kép x1 = x2 =
Nếu ? < 0 thì pt vô nghiệm
3. Công thức nghiệm thu gọn:
?` = b2 - 4 ac (b` = )
?` > 0 pt có 2 nghiệm phân biệt .
x1 = x2 =
?` = 0 thì pt có nghiệm kép x1 = x2 =
?` < 0 thì pt vô nghiệm
4. Định lý Viét:
Nếu x1; x2là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0)
Thì:
- Điều kiện pt có 2 nghiệm phân bịêt <=> ? > 0
- Điều kiện pt có nghiệm kép <=> ? = 0
- Điều kiện pt vô nghiệm <=> ? < 0
Điều kiện pt có 2 nghiệm đều dương





- Điều kiện pt có 2 nghiệm đều âm


-Điều kiện pt có 2 nghiệm trái dấu <=> a.c < 0
Một số biểu thức có thể biến diễn qua tổng và tích của chúng để sử dụng hệ thức viet:
1 , x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 - 2x1x2
2 , (x1 - x2)2 = ( x1 + x2 )2 - 4x1x2

3,

4,

5,
ii. Các Bài tập trọng tâm:
Bài 1: Cho pt: x2 + 2mx - 6m- 9 = 0
1) Giải pt với m = 1
2) Tìm m để pt có 1 nghiệm: x1 = 2 tìm nghiệm kia.
3) Chứng minh rằng pt luôn có nghiệm với mọi m
4) Tìm m để pt có 2 nghiệm dương phân biệt.
5) Tìm m để pt có 2 nghiệm âm phân biệt.
6) Tìm m để pt có 2 nghiệm trái dấu.
7) Tìm hệ thức giữa x1, x2 nghiệm phụ thuộc vào m
8) Tính theo m
Bài 2: Cho pt: x2+ 2 (m+1)x + m2 + 3 = 0
Giải pt khi m = 1
Tìm m để pt có 2 nghiệm trái dấu
Tìm m sao cho:
x12+ x22 + 3 (x1+ 1) (x2 + 1) = 35
(x1 ; x2 là nghiệm của pt)
Bài 3: Cho pt: (m- 2) x2- 2mx + m- 4 = 0
Giải pt khi m = 1
Tìm m để pt vô nghiệm
Tìm m để pt có nghiệm kép.
Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt.
Tính S = x12+ x22
Lưu ý cho HS phương trình trên chưa hẳn là phương trình bậc hai nên:
Câu 2 cần xét hai trường hợp m = 2 và m 2
Trong các câu 3,4,5 cần lý luận: m 2
Bài 4: Cho pt: x2 + (m+1) x + 5- m = 0
1)Giải pt khi m = -6
2) Tìm m để pt có nghiệm bằng -1 tìm nghiệm còn lại.
3) Tìm m để pt vô nghiệm
4) Tìm m để pt có nghiệm kép
5) Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt
6) Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt dương
7) Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt âm
8) Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
Hãy viết hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m.
Tính giá trị của biểu thức: A= x12+ x22 - x1 x2 theo m
Xác định m để pt có nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 3x1 + 3x2 = 9