Toán Ma trận

BÀI 1
MA TRẬN
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
§1: Ma Trận
Định nghĩa: Ma trận là một bảng gồm m.n số thực (phức) được viết thành m hàng và n cột như sau:
Ký hiệu: A = [aij]mn
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
Hàng thứ nhất
Hàng thứ i
Cột thứ 2
Cột thứ j
aij: Phần tử nằm ở hàng i cột j
aij
mn: gọi là cấp của ma trận
a11 a22 a33 … gọi là đường chéo chính
§1: Ma Trận
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
§1: Ma Trận
Ví dụ:
23
33
đường chéo chính
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
§1: Ma Trận
Các ma trận đặc biệt:
1. Ma trận không:
Ví dụ:
(tất cả các phần tử đều = 0)
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
§1: Ma Trận
Các ma trận đặc biệt:
2. Ma trận vuông: m = n.
Ví dụ:
Ma trận vuông cấp 2
Ma trận vuông cấp 3
(số hàng = số cột)
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
Các ma trận đặc biệt:
3. Ma trận chéo: là ma trận vuông có:
§1: Ma Trận
(các phần tử ngoài đường chéo chính = 0)
Ví dụ:
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
§1: Ma Trận
Các ma trận đặc biệt:
4. Ma trận đơn vị: là ma trận chéo có:
Ký hiệu: I, In.
Ví dụ:
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
§1: Ma Trận
Các ma trận đặc biệt:
5. Ma trận tam giác: là ma trận vuông có
Ví dụ:
(tam giác trên)
(tam giác dưới)
MT tam giác trên
MT tam giác dưới
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
§1: Ma Trận
Các ma trận đặc biệt:
6. Ma trận hình thang: là ma trân cấp mn có:
có dạng như sau:
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
§1: Ma Trận
Ví dụ:
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
§1: Ma Trận
Các ma trận đặc biệt:
7. Ma trận cột:là ma trận có n=1.
Ma trận cột có dạng:
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
Các ma trận đặc biệt:
8. Ma trận hàng: là ma trận có m=1.
Ma trận hàng có dạng:
§1: Ma Trận
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
Các ma trận đặc biệt:
9. Ma trận bằng nhau:
10. Ma trận chuyển vị: cho ma trận A=[aij]mn, ma trận chuyển vị của ma trận A ký hiệu: AT và xác định AT=[bij]nm với bij=aji với mọi i,j.
(chuyển hàng thành cột)
§1: Ma Trận
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
Ví dụ:
Dạng của ma trận chuyển vị:
§1: Ma Trận
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
Các ma trận đặc biệt:
11. Đa thức của ma trận:
Cho đa thức

và ma trân vuông

Khi đó:

(trong đó là ma trận đơn vị cùng cấp với ma trân A)
§1: Ma Trận
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
Ví dụ:
Cho
và ma trận
Khi đó:
§1: Ma Trận
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
§1: Ma Trận
Các phép toán trên ma trận:
1. Phép cộng hai ma trận:
Ví dụ:
1
0
1+ 0=1
1
2
3
2+3=5
5
-1
1
5
3
(cộng theo từng vị trí tương ứng)
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
Bài tập: Tính
5
7
-1
0
2
11 8
-2 1
§1: Ma Trận
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
Các tính chất: Giả sử A,B,C,O là các ma trận cùng cấp, khi đó:
§1: Ma Trận
Ví dụ:
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
§1: Ma Trận
Các phép toán trên ma trận:
2. Phép nhân một số với một ma trận:
Ví dụ:
2
3
2.3=6
6
2.(-2)=-4
-2
2
-4
0
14
2.0=0
8 10
0 -4 2
(các phần tử của ma trận đều được nhân cho )
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
Bài tập: Tính
?
6
0
15
§1: Ma Trận
-9
12
-3
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
Các tính chất: là hai ma trận cùng cấp, khi đó
§1: Ma Trận
Sinh viên tự kiểm tra.
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
Ví dụ:
§1: Ma Trận
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
§1: Ma Trận
Chú ý:
Nhận xét: trừ 2 ma trận là trừ theo vị trí tương ứng
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
§1: Ma Trận
Bài tập: Tính
2+(-2).1=0
0
-2
7
-1
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
§1: Ma Trận
Các phép toán trên ma trận:
3. Phép nhân hai ma trận: Cho hai ma trận
Khi đó ma trận gọi là tích của hai ma trận A, B. Trong đó:

Hàng thứ i của ma trận A.
Cột thứ j của ma trận B.
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
Ví dụ: Nhân hai ma trận sau:
3.
1
.3
+2
+1
.4
=13
13
=
=3.2+2.0+1.(-1)=5
5
3
2
2
0
1
-1
§1: Ma Trận
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
Ví dụ: Nhân hai ma trận sau:
§1: Ma Trận
=0.1+(-1).3+4.4=13
Hàng 2
Cột 1
13
Hàng 2
Cột 2
=0.2+1.0+4.(-1)=-4
-4
7
-4
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
§1: Ma Trận
Bài tập: Tính
16
2
3
10
16
3
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
§1: Ma Trận
Bài tập: Tính
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
Chú ý: Phép nhân 2 ma trận không giao hoán
§1: Ma Trận
Ví dụ:
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
Các tính chất: Ta giả sử các ma trận có cấp phù hợp để tồn tại ma trận tích
§1: Ma Trận
( I là MT đơn vị)
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
Ví dụ:
§1: Ma Trận
A(B+C)
(B+C)
AB
AC
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
Ví dụ:
§1: Ma Trận
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
§1: Ma Trận
Ví dụ: Cho và
Tính f(A)?
Ta có:
AA
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
§1: Ma Trận
Bài tập: Cho

và ma trận

Tính f(A) =?
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
§1: Ma Trận
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
§1: Ma Trận
Bài Tập: cho
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
§1: Ma Trận
Bài tập: Cho
Tính
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận:
Nhân một số khác không với một hàng (cột) của ma trận. Ký hiệu:
Đổi chỗ hai hàng (cột) của ma trận. Ký hiệu:
Cộng vào một hàng (cột) với một hàng (cột) khác đã nhân thêm một số khác không. Ký hiệu:
§1: Ma Trận
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
Ví dụ: Đưa ma trận sau về dạng ma trận hình thang.
?=1+(-2)1=-1
-5
3
?
-1
Ta làm cho phần dưới đường chéo chính = 0.
0
9
10
-1
0
8
5
2
Ta lặp lại như trên cho phần ma trận này
-5=-1+(-2)2
§1: Ma Trận
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
§1: Ma Trận
-35
26
0
-35
26
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
§1: Ma Trận
Ví dụ: Đưa ma trận sau về dạng ma trận hình thang:
-3
1
-1
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
§1: Ma Trận
Bài tập: Đưa ma trận sau về dạng ma trận hình thang:
-1
2
5
-7
6
0
6
2
7
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
§1: Ma Trận
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
§1: Ma Trận
Bài tập: Đưa ma trận sau về dạng ma trận hình thang:
1
Giảng viên: Phan Đức Tuấn
§1: Ma Trận
Bài tập: Giải hệ phương trình:
Giảng viên: Phan Đức Tuấn