Thi HSG Bình Định

Thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 9 THCS
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Cõu 1:(2 điểm)
1) Tính:

2) Tính:
.
3) Cho
và
.
Không dùng máy tính hãy so sánh C và D .
Câu 2: (2điểm)
1) Cho đa thức
. Tìm x để

2) Giải hệ phơng trình:

Câu 3: (2điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm B cố định có tọa độ
và điểm A di động

1) Viết phơng trình họ đờng thẳng
vuông góc với AB tại A.
2) Chứng minh rằng không có 3 đờng thẳng nào của họ
đồng qui.
3) Tìm các điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho chỉ có 1 đờng thẳng của họ
đi qua
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M là điểm thay đổi trên đoạn AD. Gọi N và P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N xuống đờng thẳng PD.
a) Tính số đo góc NEB.
b) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất.
b) Chứng minh rằng khi M thay đổi, đờng thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5: (1điểm) Cho các số
đợc xác định theo công thức sau:

với n = 1, 2, …, 2008.
Chứng minh rằng:

....................Hết....................
Hướng dẫn chấm

Câu
Phần
Nội dung

Câu 1

2 điểm

1)
0,5điểm














2)

0,5điểm

















3)

1,0điểm















 Mà



<




 Vậy C < D

Câu 2

2 điểm

1)

1,0điểm

Ta có
















Để






















Giải phơng trình
ta đợc x = 2
Giải phơng trình
Vô nghiệm
Vậy với x = 2 thì
.


2)

1,0điểm


(1)
(x + y + z)2 = 36

x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 36

xy + yz + zx = 11 (kết hợp với (3))
(2)
xy + yz = zx – 1

xy + yz + zx = 2zx – 1

2zx = 12

zx = 6

xy + yz = 5

y(x + z) = 5 (4)



Mà y + x + z = 6
x + z = 6 – y
(4)
y(6 – y) = 5

y(6 – y) = 5

(y – 1)(y – 5) = 0





+) Với y = 1 thì (4)
x + z = 5
x = 5 – z
mà zx = 6
(5 – z)z = 6
(z – 2)(z – 3) = 0




+) Với y = 5 thì (4)
x + z = 1
x = 1 – z
mà zx = 6
(1 – z)z = 6

(z
)2 =
(phơng trình vô nghiệm)
Vậy tập nghiệm của hệ phơng trình là


Câu 3

2 điểm

1)
0,75điểm

Phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b (d)
A, B
(d) nên








Gọi phơng trình họ đờng thẳng
là y = a’x + b’
Vì

AB tại A nên a.a’ = - 1

a’ = m – 1

y = (m – 1)x + b’



Vì
đi qua A(m; 0) ta có: 0 = (m – 1)m + b’
Vậy họ đờng thẳng
cần tìm là: y = (m – 1)x + (m – m2)



2)

0,5điểm
Giả sử 3 đờng thẳng trong họ (dm) đồng qui tại điểm (xo; yô)