Tay Ninh 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG TỈNH
NĂM HỌC 2012 - 2013

Khóa thi ngày 06/11/2012
Môn: TOÁN. Buổi thi thứ nhất
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
------------------------------------------------------------------
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang, thí sinh không phải chép đề vào giấy thi)

Bài 1: (5 điểm)
Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2.
Chứng minh rằng:


Bài 2: (5 điểm)
Kí hiệu là tập hợp các số nguyên dương. Xét hàm số thỏa mãn điều kiện:
với mọi số nguyên dương m và n. Tính f(2012)


Bài 3: (5 điểm)
Cho góc nhọn cố định và điểm B cố định ở trong miền nhọn của góc Đường tròn (O) di động nhưng luôn đi qua hai điểm A và B, cắt tia Ax tại C (khác A) và cắt tia Ay tại D (khác A). Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác ACD


Bài 4: (5 điểm)
Cho S là tập hợp con của tập hợp T = Giả sử S có ít nhất 10 phần tử. Chứng minh rằng tồn tại các tập con khác rỗng X và Y của S sao cho X và Y không có phần tử chung và tổng các phần tử của X bằng tổng các phần tử của Y.

--- Hết ---


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG TỈNH
NĂM HỌC 2012 - 2013
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN BUỔI THI THỨ NHẤT
Bài
Hướng dẫn chấm
Điểm

Bài 1
(5 điểm)
nên trong 3 số a, b, c tồn tại ít nhất 1 số bé hơn 1
Giả sử a < 1. Xét E = (1 - a)(1 - b)(1 - c) trong đó 1 - a > 0
1


1/ Nếu E > 0 thì 1 - b và 1 - c cùng dương (vì nếu 1 - b < 0 và 1 - c < 0 thì
b+ c > 2. Vô lí), khi đó:
1


2/ Nếu E 0 thì
Trong cả hai trường hợp ta đều có E = (1 - a)(1 - b)(1 - c)
1


Suy ra:

1



Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
1

Bài 2
(5 điểm)
Từ giả thiết suy ra: f[2f(n)] =2n với mọi n nguyên dương và f[2f(1)] = 2
1


Ta có: f(1) = 1
1


Thật vậy, giả sử f(1) = 1+ k với k là số nguyên dương thì:

1


Giả sử f(n) = n. Khi đó: f(n+1) = f[f(n)+f(1)] = n + 1
1


Theo nguyên lý quy nạp, suy ra: f(n) = n, Vậy f(2012) = 2012
1

Bài 3
(5 điểm)






Đặt Do A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (O) và A, B đối diện nhau nên Mặt khác: Vậy tam giác BCD có số đo ba góc không đổi, do đó các tam giác BCD luôn đồng dạng nhau
1


Gọi M là trung điểm CD thì các góc có số đo không đổi.
1


Đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC cắt lại tia Ax tại K, đường tròn ngoại tiếp tam giác BMD cắt lại tia Ay tại L. Ta có: không đổi, suy ra K cố định. Tương tự, không đổi, suy ra L cố định
1



Nên K, M, L thẳng hàng
Do B thuộc miền trong của góc nên tập hợp các điểm M là đoạn KL trừ hai điểm K, L
1


Suy ra tập hợp trọng tâm G của tam giác ACD là ảnh của qua phép vị tự tâm A, tỉ số
1

Bài 4
(5 điểm)
Ta chỉ xét trường hợp S có 10 phần tử (còn nếu S có hơn 10 phần tử, thì khảo sát tập con S` có 10 phần tử của S sau khi bỏ đi một số phần tử của S)
1


Khi đó số tập con khác rỗng của S là
1


Mỗi tập con của S có tổng các phần tử không vượt