Quy tắc chia hết của số tự nhiên

Quy tắc làm các bài về tính chia hết của số tự nhiên

Phương pháp xác định tính chia hết của số tự nhiên thường gặp chủ yếu có hai loại: một cách là xem số cuối (Số tận cùng) hoặc vài số cuối; Cách khác là tính toán tổng các số trước hoặc tổng các số bị chia cho hệ số thích hợp.
Ứng dụng tính chất chia hết rất hay gặp trong các đề thi HSG tiểu học. Bài này xin tổng hợp tính chia hết cho 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

1/ Chia hết cho 2
Tính chẳn lẻ của một số tự nhiên (mở rông đến số nguyên) quyết định việc nó có chia hết cho 2 không:
Mọi số TN là số chẵn đều chia hết cho 2; Mà các số chẵn thì só tận cùng là 0,2, 4, 6, 8
Số lẻ (tức là chữ số hàng đơn vị 1, 3, 5, 7, hoặc 9) không thể chia hết cho 2. Nếu là số lẻ thì chia cho 2 luôn có só dư là 1
Người ta tổng quát số chẵn là 2n; số lẻ là 2n +1
Ví dụ: 465124 có thể chia hết cho 2, nhưng 246809 lại chia hết cho 2.

2/ Chia cho 5 & 25:
- Mọi số tự nhiên chia hết cho 5 thì chữ số hàng đơn vị của nó là 0 hoặc 5.
-Mọi số tự nhiên chia hết cho 25 thì hai số cuối cùng của nó (tức là hàng chục và hàng đơn vị) chia hết cho 25 là 100, 25, 50 hoặc 75. Ví dụ như 1207895 có thể chia hết cho 5 nhưng không thể chia hết cho 25.

3/ Chia hết cho 3 & 9:
- Quy tắc đoán một số tự nhiên chia hết cho 3 là tồng các số của nó có thể chia hết cho 3;
- Quy tắc đoán một số tự nhiên chia hết cho 9 là tổng các số của nó chia hết cho 9.

Ví dụ như: tổng các chữ số của 147345 là 5 + 4 + 3 + 7 + 4 + 1 = 24 có thể chia hết cho 3, nhưng không thể chia hết cho 9, cho nên số 147345 chỉ có thể chia hết cho 3, không thể chia hết cho 9.
* Chứng minh
Tại sao lại có những quy tắc đơn giản như vậy?
Bởi vì nếu a0, a1, a2, a3... lần lượt là các số của hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn… của số tự nhiên A thì:

A = a0 + 10a1 + 102a2 + 103a3 + ….
= [(10 – 1) a1 + (102 -1)a2 + (103 – 1)a3 +...] + (a0 + a1 + a2 + a3 +...)
Có thể dẽ dàng kiểm tra tính toán được là (10n – 1) (n là số tự nhiên) đều là bội số của 3 và 9, nên số trong hàng hoặc vuông cuối cùng của phép tính trên là bội số của 3 và 9.
Từ đó có thể rút ra kết luận rằng, để biết A có phải là bội số của 3 hoặc 9 không, chỉ cần xem tổng các số a0 + a1 + a2 + a3 + … của A có phải là bội số của 3 hoặc 9 không?

4/ Chia cho 4 & 8:
- Quy tắc đoán một số tự nhiên chia hết cho 4 là tổng chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng chục của nó có thể chia hết cho 4.
- Quy tắc phân biệt một số tự nhiên chia hết cho 8 là tổng số hàng đơn vị, hai lần chữ số hàng chục và bốn lần chữ số hàng trăm của nó có thể chia hết cho 8.
Ví dụ,
Do 6 + 2 x 7 = 20 chia hết cho 4, cho nên số 1390276 có thể chia hết cho 4;
Do 6 + 2 x 7 + 4 x 2 = 28 không thể chia hết cho 8 nên số 130276 không thể chia hết cho 8.
Nếu thay số hàng trăm bằng số 3; 5 hoặc7 thì ta được số 130376 và 130576 chia hết cho 8. Vì: 6 + 2 x 7 + 4 x 3 = 32 ; 6 + 2 x 7 + 4 x 5 = 40; 6 + 2 x 7 + 4 x 7 = 48

*Cách chứng minh hai quy tắc này giống cách chứng minh hai quy tắc chia hết cho 3 ở phần (3),
Cụ thể: chứng minh quy tắc chia hết cho 8, còn việc chứng minh quy tắc kia chúng tôi để dành cho các bạn nhỏ tự hoàn thành. Sử dụng ký hiệu trong (3), A có thể chia thành A = = [(10 – 2) a1 + (102 -4)a2 + 103a3 ...] + (a0 + 2a1 + 4a2). Dễ dàng nhận ra rằng các số trong dấu hoặc vuông là bội