PP Chứng Minh Bất Đẳng Thức

Một số phương pháp chứng minh Bất đẳng thức

Phương pháp 1: Phương pháp dựa vào định nghĩa -   Lập hiệu A-B -   Biến đổi biểu thức (A-B) và chứng minh A-B
0 -   Kết luận A
B -   Xét trường hợp A=B khi nào VD: CMR:
với mọi a, b cùng dấu. CM: Ta có:
a, b cùng dấu => ab>o =>
  Vậy
Dấu “=” sảy ra khi và chỉ khi a-b=0, hay a=b ./. Bài tập tương tự : CMR:
với ab>1
Phương pháp 2: Phương pháp chứng minh trực tiếp -   Biến đổi vế phức tạp, thường là vế trái:
vì
nên
=>
Dấu “ =” sảy ra khi và chỉ khi M=0 VD: CMR:
 với mọi x CM: Ta có:
=>
Dấu”=” sảy ra khi và chỉ khi x=2 Phương pháp 3: Phương pháp so sánh - Biến đổi riêng từng vế rồi so sánh kết quả. Suy ra đpcm.

Nếu
VD: CMR:
CM:
             
=>

Bài tập tương tự:CMR:

Phương pháp4: Dùng tính chất tỉ số Cho 3 số dương a,b,c : Nếu
thì
Nếu
thì
Nếu b,d>o thì từ
VD: a,b,c là 3 số dương. CMR:
CM: Do c>o =>
          (3) Tương tự ta có :
(4)                    và:
   (5) cộng vế với vế 3 BĐT kép(3),(4) và (5) ta được:
(đpcm) Bài tập tương tự: Cho các số dương a1,a2,a3,b1,b2,b3 thoả:
CMR:
Phương pháp 5: Dùng phép biến đổi tương đương Ta biến đổi BĐT cần chứng minh tương đưng với BĐT đúng hoặc BĐT đã được chứng minh đúng. Chú ý các BĐT sau: - Bình phương của tổng, hiệu - Lập phương của tổng, hiệu -


VD: Cho a,b là các số thực. CMR:
CM: Ta có:
<=>
<=>
<=>
(luôn đúng) =>đpcm Bài tập tương tự:Cho a,b,c là các số thực. CMR:

Phương pháp 6: Phương pháp làm trội Dùng tính chẩt của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh về dạng để tính tổng hữa hạn hoặc tích hữu hạn. - Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn:
là biểu diễn số hạng tổng quát
về hiệu của 2 số hạng liên tiếp nhau :
 Lúc đó :
-Phương pháp chung để tính tích hữu hạn
là biểu diễn số hạng tổng quát
về thương của 2 số hạng liên tiếp nhau
Lúc đó
VD:Chứng minh các BĐT sau với n là STN: a,
(k>1) b,
CM: a. Với k>1 ta có Phương pháp 7:Phương pháp lượng giác Sử dụng điều kiện của biến
Đặt x=ksina với
hoặc x=kcosa với
VD:
CM: Điều kiện:
. Đặt
Khi đó:

với
Bài tập tương tự: CMR: nếu |x|<1 và n là số nguyên lớn hơn 2 thì ta cs bĐt:


Lần lượt thay k=2,3,..,n rồi cộng lại có:
=> đpcm b. Với mọi k>1 ta có:
Vậy :
Lần lượt thay k=2,3,...,n vào rồi cộng lại ta được:
Bài tập tương tự CMBĐT: :

Phương pháp 8: Dùng BĐT trong tam giác Nếu a,b,c là số đó 3 cạnh của một tam giác thì a,b,c>0 và |b-c|