Phuong phap phan tich da thuc thanh nhan tu

A / Lêi nãi ®Çu

Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö lµ néi dung kiÕn thøc quan träng, lý thó, song ®ã l¹i lµ mét trong nh÷ng d¹ng to¸n khã ®èi víi häc sinh bËc THCS.
Néi dung nµy ®­îc giíi thiÖu kh¸ ®Çy ®ñ trong ch­¬ng tr×nh §¹i Sè 8 vµ cã thÓ coi lµ néi dung nßng cèt cña ch­¬ng tr×nh. Bëi nã ®­îc vËn dông rÊt nhiÒu ë c¸c phÇn sau nh­: Rót gän ph©n thøc, quy ®ång mÉu thøc cña c¸c ph©n thøc, biÕn ®æi c¸c biÓu thøc h÷u tØ, biÕn ®æi c¸c biÓu thøc v« tØ, gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc cao ...
Thùc tÕ gi¶ng d¹y cho thÊy, mÆc dï c¸c ph­¬ng ph¸p ®­îc gi¬Ý thiÖu trong SGK rÊt roõ rµng, cô thÓ. Song viÖc c¸c em vËn dông cßn nhiÒu lóng tóng. §Æc biÖt ®èi víi häc sinh kh¸ giái th× néi dung kiÕn thøc ch­a ®¸p øng ®­îc nhu cÇu häc to¸n cña c¸c em.
VËy D¹y - Häc néi dung ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö nh­ thÕ nµo ®Ó ®¹t kÕt qu¶ tèt nhÊt? Phï hîp cho häc sinh ®¹i trµ? §ång thêi ®¸p øng ®­îc nhu cÇu häc tËp cña häc sinh kh¸ giái. §Ó ®¹t kÕt qu¶ ®ã, ngoµi ph­¬ng ph¸p truyÒn thô ng­êi thÇy ph¶i n¾m b¾t ®­îc kiÕn thøc mét c¸ch nhuÇn nhuyÔn. §ã chÝnh lµ lý do t«i ®­a ra ®Ò tµi nµy.
Cô thÓ trong ®Ò tµi nµy, víi mçi ph­¬ng ph¸p c¬ b¶n hay ®Æc biÖt. Toâi ñeàu lµm râ:
Ph­¬ng ph¸p giaûi.
Bµi tËp tù luyÖn
Víi néi dung vµ tr×nh bµy trong ®Ò tµi nµy, hy väng ®Ò tµi nµy kh«ng chØ lµ tµi liÖu h­íng dÉn ®èi víi häc sinh mµ cßn lµ tµi liÖu tham kh¶o bæ Ých cho c«ng t¸c gi¶ng d¹y cña gi¸o viªn c¸c tr­êng THCS.

B. Néi dung
PhÇn 1: C¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
C¸c ph­¬ng ph¸p c¬ b¶n
I/ Ph­¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung
Ph­¬ng ph¸p .
T×m nh©n tö chung lµ nh÷ng ®¬n thøc, ®a thøc cã maët trong tÊt caû c¸c h¹ng tö.
Ph©n tÝch mçi h¹ng tö thµnh tÝch nh©n tö chung vµ mét nh©n tö.
ViÕt nh©n tö chung ra ngoµi dÊu ngoÆc, viÕt c¸c nh©n tö cßn l¹i cña mçi h¹ng tö vµo trong dÊu ngoÆc.
VÝ dô: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö
–3xy + x
y
– 5x
y
2x(y – z) + 5y(z – y)
10x
(x + y) – 5(2x + 2y)y

Bµi laøm
a) 3xy + x
y
– 5x
y = xy(- 3 + xy – 5x)
b) 2x(y – x) + 5y(z – y) = 2x(y – z) – 5y(y – z) = (y – z)(2x – 5y)
c) 10x
(x + y) – 5(2x + 2y)y
= 10x
(x + y) – 10y
(x + y) = 10(x + y)(x
– y
)
= 10(x + y)(x + y)(x – y) = 10(x + y)
(x – y)
Bµi tËp tù luyÖn
Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
12xy
– 12xy + 3x
15x – 30 y + 20z

x(y – 2007) – 3y(2007 - y)
x(y + 1) + 3(y2 + 2y + 1)
Bµi 2: TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau
23,45 . 97,5 +23,45 . 5,5 -,23,45 . 3
2x
(x – y) + 2x
(y – x ) + 2x
(z – x) (Víi x = 2006 ; y = 2007 ; z = 2008)
II) Ph­¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc
Ph­¬ng ph¸p
Sö dông c¸c h»ng ®¼ng thøc ®Ó biÕn ®æi ®a thøc thµnh tÝch c¸c nh©n tö hoÆc luü thõa cña mét ®a thøc ®¬n gi¶n.
Nh÷ng h»ng ®¼ng thøc :
(A + B)
= A
+ 2AB + B

(A - B)
= A
- 2AB + B

A – B = (A + B)(A – B)
(A + B)
= A
+ 3A
B + 3AB
+ B

(A - B)
= A
- 3A
B + 3AB
- B

A
+ B
= (A + B)(A
– AB + B
)
A
- B
= (A - B)(A
+ AB + B
)
(A + B + C)
= A
+ B
+ C
+ 2AB + 2BC + 2CA
A
– B
= (A – B)(A
+ A
B + … + AB
+ B
)
A
– B
= (A +B)(A
- A
B + … - B
)
A
+ B
= (A + B)(A
– A
B + A
B
- … +B
)
(A + B)
= A
+ n A
B -
A
B
+ … +
A
B
+ nAB
+ B

(A - B)
= A
- n A
B +
A
B
- … +(-1)
B

VÝ dô Ph©n tÝch ®a thøc tµnh nh©n tö
x
+ 6xy
+ 9y

a
– b

(x – 3)
- (2 – 3x)

x
– 3x
+ 3x - 1
Bµi Lµm
x
+ 6xy
+ 9y
= x
+ 2x3y
+ (3y)
= (x + 3y
)

a
– b
= (a
)
– (b
)
= (a
+ b
) (a
– b
) = (a
+ b
) (a + b) (a – b)
(x – 3)
- (2 – 3x)
= [(x – 3) + (2 – 3x)][(x – 3) – (2 – 3x)]= (- 2x – 1)(- 5 + 4x)
x
– 3x
+ 3x - 1 = (x – 1)

2.2/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
a
+ b
+ c
– 3abc
(a + b + c)
– a
– b
– c

Bµi Lµm
a) a
+ b
+ c
– 3abc = (a + b)
– 3ab(a + b) + c
– 3abc
= ( a + b + c)[(a + b)
– (a + b)c + c
] – 3abc( a + b +c)
= (a + b + c)( a
+ b
+ c
– ab – bc – ca)
b) (a + b + c)
– a
– b
– c

= (a + b)
+ c
+ 3c(a + b)(a + b + c) – a
– b
–c

= 3(a + b)(ab + bc + ac + c
) = 3(a + b)(b + c) (c + a)
Bµi tËp tù luyÖn
Bµi 3. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
(x – 15)
– 16
25 – (3 – x)

(7x – 4)
– ( 2x + 1)

9(x + 1)
– 1
9(x + 5)
– (x – 7)

49(y- 4)
– 9(y + 2)

Bµi 4. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
8x
+ 27y

(x + 1)
+ (x – 2)

1 – y
+ 6xy
– 12x
y + 8x

2004
- 16
III/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö, b»ng ph­¬ng ph¸p nhãm nhiÒu h¹ng tö.
Ph­¬ng ph¸p
Sö dông tÝnh chÊt giao ho¸n, kÕt hîp ®Ó nhãm c¸c h¹ng tö thÝch hîp vµo tõng nhãm.
AÙp dông ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc kh¸c ®Ó gi¶i to¸n.
2. VÝ dô
2.1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
x
– 3xy + x – 3y
7x
– 7xy – 4x + 4y
x
+ 6x – y
+ 9
x
+ y
– z
– 9t
– 2xy + 6zt
Bµi Lµm
a) x
– 3xy + x – 3y = (x
– 3xy) + (x – 3y) = x(x – 3y) + (x – 3y)= (x – 3y) (x + 1)
b) 7x
– 7xy – 4x + 4y = (7x
– 7xy) – (4x – 4y) = 7x(x – y) – 4(x – y)=(x – y) (7x – 4)
c)x
+ 6x – y
+ 9 = (x
+ 6x + 9) – y
= (x + 3)
- y
= (x + 3 + y)(x + 3 – y)
d)x
+ y
– z
– 9t
– 2xy + 6zt = (x
– 2xy + y
) – (z
– 6zt + 9t
)
= (x – y)
– (z – 3t)
= (x – y + z – 3t)(x – y – z + 3t
2.2/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
x
y + xy
+ x
z + xz
+ y
z + yz
+ 2xyz
x
y + xy
+ x
z + xz
+ y
z + yz
+ 3xyz
Bµi Lµm
a) x
y + xy
+ x
z + xz
+ y
z + yz
+ 2xyz
= (x
z + y
z + 2xyz) + x
y + xy
+ xz2 + yz

= z(x + y)
+ xy(x + y) + z
(x + y) = (x + y)(xz + yz + xy + z
)
= (x + y) [(xz + xy) + (yz + z
)]
= (x + y) [x(z + y) + z(z + y)]
= (x + y)(y + z)(x + z)
b) x
y + xy
+ x
z + xz
+ y
z + yz
+ 3xyz
= (x
y + x
z + xyz) + ( xy
+ y
z + xyz) + (x
z + yz
+ xyz)
= x(xy + xz + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy)
= (xy + yz + xz)( x + y + z)
3. Bµi TËp
Bµi 5: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
x
+ 3x
– 9x – 27
x
+ 3x
– 9x – 9
x
– 3x
+ 3x – 1 – 8y

BµI 6: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
x(y2 – z2) + y(z2 – y2) + z(x2 – y2)
xy(x – y) – xz( x + z) – yz (2x + y – z )
x(y + z )2 + y(z + x) 2 + z(x + y) 2 – 4xyz
yz(y +z) + xz(z – x) – xy(x + y)
IV/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch phèi hîp nhiÒu ph­¬ng ph¸p
1. Ph­¬ng ph¸p
VËn dông linh ho¹t c¸c ph­¬ng ph¸p c¬ b¶n ®· biÕt vµ th­êng tiÕn hµnh theo tr×nh tù sau :
- §Æt nh©n tö chung
- Dïng h»ng ®¼ng thøc
- Nhãm nhiÒu h¹ng tö
2. Ví dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
5x
- 45x
3x
y – 6x2y – 3xy
– 6axy2 – 3a2xy + 3xy
Bµi lµm
a) 5x
– 45x = 5x(x2 – 9) = 5x(x +3) (x – 3)
b) 3x2y – 6x2y – 3xy
– 6axy2 – 3a2xy + 3xy
= 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1)
= 3xy [( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)]
= 3xy [(x – 1) 2 – (y + a) 2]
= 3xy [(x – 1) + (y + a)] [(x – 1) – (y + a)]
= 3xy(x + y + a – 1) (x – y – a – 1)
3. Bµi tËp
Bµi 7. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc
8x
(x + z) – y
(z + 2x) – z
(2x - y)
[(x2 + y2)(a2 + b2) + 4abxy] 2 – 4[xy(a2 + b2) + ab(x2 + y2)] 2
Bµi 8. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (x + y + z)
– x
– y
- z

H­íng dÉn
(x + y + z )
– x
– y
- z

=[(x + y + z)
– x
] – (y
+ z
)
= (x + y + z – x) [(x+ y + z) 2 + (x + y + z)x + x2] – (y + z)(y2 – yz + z2)
= (y+z)[ x2 + y2 + z2 +2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x2 + x2 – y2 + yz – z2]
= (y + z)(3x2 + 3xy + 3xz + 3yz)
= 3(y +z)[x(x + y) + z(x+y)]
= 3( x + y)(y + z)(x + z)
V/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch t¸ch mét h¹ng tö thµnh hai hay nhiÒu h¹ng tö
1. Ph­¬ng ph¸p
Ta ph©n tÝch mét h¹ng tö thµnh tæng cña nhiÒu h¹ng tö thÝch hîp, ®Ó xuÊt hiÖn nh÷ng nhãm sè h¹ng mµ ta cã thÓ ph©n tÝch thµnh nh©n tö b»ng ph­¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc, ®Æt nh©n tö chung
2. VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh thµnh nh©n tö x2 – 6x + 8
Bµi lµm
Caùch 1: x2 – 6x + 8 = (x2 – 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x –2)(x – 4)
Caùch 2: x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1 = (x – 3) 2 – 1 = (x –3 + 1)(x – 3 – 1) = (x – 2)(x – 4)
Caùch 3: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4) – 6x + 12 = (x – 2)(x + 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x + 2 – 6) = (x – 2)(x – 4)
Caùch 4: x2 – 6x + 8 = (x2 – 16) – 6x + 24 = (x –4)(x + 4) – 6(x – 4) = (x – 4)(x + 4 –6) = (x –4)(x – 2)
Caùch 5: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4x + 4) – 2x + 4 = ( x – 2) 2 – 2(x – 2)= (x – 2)(x – 2 – 2) = (x – 2)(x – 4)
3. Bµi tËp
Bµi 9 : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
x2 + 7x +10
x2 – 6x + 5
3x2 – 7x – 6
10x2 – 29x + 10
Bµi 10: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
x
+ 4x2 – 29x + 24
x
+ 6x2 + 11x + 6
x2 – 7xy + 10y
4x2 – 3x – 1
VI/ Ph­¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö.
Ph­¬ng ph¸p
Ta thªm hay bít cïng mét h¹ng tö vµo ®a thøc ®· cho ®Ó lµm xuÊt hiÖn n nhãm sè h¹ng mµ ta cã thÓ ph©n tÝch ®­îc thµnh nh©n tö chung b»ng c¸c ph­¬ng ph¸p: §Æt nh©n tö chung, dïng h»ng ®¼ng thøc, ...
VÝ dô Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
x
+ 64 = x
+ 64 + 16x
– 16x
= (x
+ 8)
– (4x)
= (x2 + 4x + 8)(x
– 4x + 8)
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
x
+ 4y

x
+ x + 1
Bµi lµm
a) x
+ 4y
= x
+ 4y
+ 4x
y
– 4x
y
= (x + 2y)2 – (2xy)2 = (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy)
b) x
+ x + 1 = (x
+ x
+ x
) – (x
+ x
+ x
) + (x
+ x + 1)
= x
(x
+ x + 1) – x
(x
+ x + 1) + (x
+ x +1)
= (x
+ x + 1)(x
– x
+1)
Bµi tËp
Bµi 11: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
x
+ x
+ 1
x
+ x
+ 1
x
+ x + 1
x
+ 4
Bµi 12: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
x
+ 5x
+ 3x – 9
x
+ 9x
+ 11x – 21
x
– 7x + 6
Bµi 13: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
x
- 5x
+ 8x – 4
x
– 3x + 2
x
– 5x
+ 3x + 9
x
+ 8x
+ 17x + 10
x
+ 3x
+ 6x + 4
Bµi 14: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
x
– 2x – 4
2x
– 12x
+ 7x – 2
x
+ x
+ 4
x
+ 3x
+ 3x + 2
x
+ 9x
+ 26x + 24
2x
– 3x
+ 3x + 1
3x
– 14x
+ 4x + 3

* Moät soá phöông phaùp khaùc
VII/ Ph­¬ng ph¸p ®Æt biªn sè (®Æt biªn phô)
Ph­¬ng ph¸p
Mét sè bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö mµ trong ®a thøc ®· cho cã biÓu thøc xuÊt hiÖn nhiÒu lÇn. Ta ®Æt biÓu thøc Êy lµ mét biÕn míi. Tõ ®ã viÕt ®a thøc ®· cho thµnh ®a thøc míi dÔ ph©n tÝch thµnh nh©n tö h¬n.
VÝ dô : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
6x
– 11x
+ 3
(x
+ 3x + 1)(x
+ 3x – 3) –5
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
Bµi Lµm
6x
– 11x
+ 3
- §Æt x2 = y
- §a thøc ®· cho trë thµnh: 6y
– 11y + 3 = (3y – 1)(2y – 3)
- Tr¶ l¹i biÕn cò:
6x
– 11x
+ 3 = (3x
– 1) (2x
– 3) = (
x – 1)(
x + 1)(
x -
)(
x +
)
(x
+ 3x + 1)(x
+ 3x – 3) –5
- §Æt x
+ 3x + 1 = y ( x
– 3x – 3 = y – 4
- §a thøc ®· cho trë