PHẦN I: Số và chữ số

Phần một
số và chữ số

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
ĐỖ ANH TUẤN – TRƯỜNG TIỂU HỌC HẢI LỰU – SÔNG LÔ – VĨNH PHÚC
Phần một
số và ch? số
I. Kiến thức cần ghi nhớ
1. Dùng 10 ch? số để viết số là: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9.
2. Có 10 số có 1 ch? số: (Từ số 0 đến số 9)
Có 90 số có 2 ch? số: (từ số 10 đến số 99)
Có 900 số có 3 ch? số: (từ số 100 đến 999)
.
3. Số tự nhiên nhỏ nhất là số 0. Không có số tự nhiên lớn nhất.
4. Hai số tự nhiên liên tiếp hơn (kém) nhau 1 đơn vị.
5. Các số có ch? số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 gọi là số chẵn. Hai số chẵn liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị.
6. Các số có ch? số tận cùng là 1, 3, 5, 7, 9 gọi là số lẻ. Hai số lẻ liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị.
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
II. Bài tập
Bài 1: Cho 4 chữ số 2, 3, 4, 6.
a) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số trên? Đó là những số nào?
b) Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số trên? Hãy viết tất cả các số đó?
B�i gi?i
Lập b?ng sau ta được:
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Nhận xét: Mỗi chữ số từ 4 chữ số trên ở vị trí hàng trăm ta lập được 6 số có 3 chữ số khác nhau. Vởy có tất cả các số có 3 chữ số khác nhau là: 6 x 4 = 24 (số).
Tương tự phần (a) ta lập được: 4 x 6 = 24 ( số)
Các số đó là: 2346; 2364; 2436; 2463; 2643; 2634; 3246; 3264; 3426; 3462; 3624; 3642; 4236; 4263; 4326; 4362; 4623; 4632; 6243;6234; 6432; 6423.
Bài 2: Cho 4 chữ số 0, 3, 6, 9.
a) Có bao nhiêu số có 3 chữ số được viết từ 4 chữ số trên?
b) Tìm số lớn nhất và số bé nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số trên?
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 3: a) Hãy viết tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số mà tổng các chữ số của nó bằng 3?
b) Hãy viết tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số mà tổng các chữ số của nó bằng 4?
Bài 4: Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4.
a) Có thể viết được bao nhiêu số có 4 chữ số từ 5 chữ số đã cho? Trong các số viết được có bao nhiêu số chẵn?
b) Tìm số chẵn lớn nhất, số lẻ nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 5 chữ số đó?
Bài 5: Có bao nhiêu số có 4 chữ số mà trong đó không có 2 chữ số nào giống nhau ở mỗi số?
Bài 6: Cho 3 chữ số 1, 2, 3. Hãy viết tất cả các số có 3 chữ số khác nhau từ 3 chữ số đã cho, rồi tính tổng các số vừa viết được.
Bài 7: Cho các chữ số 5, 7, 8.
a) Hãy viết tất cả các số có 3 chữ số khác nhau từ các chữ số đã cho.
b) Tính nhanh tổng các số vừa viết được.
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 8: Cho số 1960. Số này sẽ thay đổi như thế nào? Hãy giải thích?
a) Xoá bỏ chữ số 0. b) Viết thêm chữ số 1 vào sau số đó.
c) Đổi chỗ hai chữ số 9 và 6 cho nhau.
Bài 9: Cho số thập phân 0,0290. Số ấy thay đổi như thế nào nếu:
a) Ta bỏ dấu phẩy đi? b) Ta đổi hai chữ số 2 và 9 cho nhau?
c) Ta bỏ chữ số 0 ở cuối cùng đi?
d) Ta chữ số 0 ở ngay sau dấu phẩy đi?
Bài 10: Cho ba chữ số: a, b, c khác chữ số 0 và a lớn hơn b, b lớn hơn c.
a) Với ba chữ số đó, có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số? (trong các số, không có chữ số nào lặp lại hai lần)
b) Tính nhanh tổng của các số vừa viết được, nếu tổng của ba chữ số a, b, c là 18.
c) Nếu tổng của các số có ba chữ số vừa lập được ở trên là 3330, hiệu của số lớn nhất và số bé nhất trong các số đó là 594 thì ba chữ số a, b, c là bao nhiêu?
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 11: Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số mà ở mỗi số:
a) Không có chữ số 5? b) không có chữ số 7
Bài 12: Hỏi có bao nhiêu số có 3 chữ số mà mỗi số có:
a) 1 chữ số 5 b) 2 chữ số 5.
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
PHẦN HAI
BỐN PHÉP TÍNH VỚI SỐ TỰ NHIÊN, PHÂN SỐ VÀ
SỐ THẬP PHÂN
A. PHÉP CỘNG
I. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ
1. a + b = b + a
2. (a + b) + c = a + (b + c)
3. 0 + a = a + 0 = a
4. (a - n) + (b + n) = a + b
5. (a - n) + (b - n) = a + b - n x 2
6. (a + n) + (b + n) = (a + b) + n x 2
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
7. Nếu một số hạng được gấp lên n lần, đồng thời các số hạng còn lại được giữ nguyên thì tổng đó được tăng lên một số đúng bằng (n - 1) lần số hạng được gấp lên đó.
8. Nếu một số hạng bị giảm đi n lần, đồng thời các số hạng còn lại được giữ nguyên thì tổng đó bị giảm đi một số đúng bằng (1 -
) số hạng bị giảm đi đó.
9. Trong một tổng có số lượng các số hạng lẻ là lẻ thì tổng đó là một số lẻ.
10. Trong một tổng có số lượng các số hạng lẻ là chẵn thì tổng đó là một số chẵn.
11. Tổng của các số chẵn là một số chẵn.
12. Tổng của một số lẻ và một số chẵn là một số lẻ.
13. Tổng của hai số tự nhiên liên tiếp là một số lẻ.
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
II. Bài tập
Bài 1: Tính nhanh:
a) 4823 + 1560 + 5177 + 8440
b) 10556 + 8074 + 9444 + 926 + 1000
c) 576 + 789 + 467 + 111
Bài 1:
(4823 + 5177) + ( 1560 + 8440) = 10.000 + 10.000
= 20.0000
(10556 + 94444) + ( 8074 + 926) + 1000 = 19500 + 9000 + 1000
= 29500
576 + 467 + 789 +111 = 1043 + 900
= 1943
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 2: Tính nhanh:
a)
b)
c)
d)
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
c)
Bài 2:




CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 3: Tính nhanh:
Bài 4: Tìm hai số có tổng bằng 1149, biết rằng nếu giữ nguyên số lớn và gấp số bé lên 3 lần thì ta được tổng mới bằng 2061.
Bài 5: Khi cộng một số có 6 chữ số với 25, do sơ xuất, một học sinh đã đặt tính như sau:
Em hãy so sánh tổng đúng và tổng sai trong phép tính đó.
Bài 6: Khi cộng một số tự nhiên với 107, một học sinh đã chép nhầm số hạng thứ hai thành
1007 nên được kết quả là 1996. Tìm tổng đúng của hai số đó.
Bài 7: Hai số có tổng bằng 6479, nếu giữ nguyên số thứ nhất, gấp số thứ hai lên 6 lần thì được tổng mới bằng 65789. Hãy tìm hai số hạng ban đầu.
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 8: Tìm hai số có tổng bằng 140, biết rằng nếu gấp số hạng thứ nhất lên 5 lần và gấp số hạng thứ hai lên 3 lần thì tổng mới là 508.
Bài 9: Tìm hai số tự nhiên có tổng là 254. Nếu viết thêm một chữ số 0 vào bên phải số thứ nhất và giữ nguyên số thứ hai thì được tổng mới là 362.
Bài 10: Tìm hai số có tổng bằng 586. Nếu viết thêm chữ số 4 vào bên phải số thứ hai và giữ nguyên số thứ nhất thì tổng mới bằng 716.
Bài 11: Tổng của hai số thập phân là 16,26. Nếu ta tăng số thứ nhất lên 5 lần và số thứ hai lên 2 lần thì được hai số có tổng mới là 43,2. Tìm hai số đó.
Bài 12: Tổng của hai số là 10,47. Nếu số hạng thứ nhất gấp lên 5 lần, số hạng thứ hai gấp lên 3 lần thì tổng mới sẽ là 44,59. Tìm hai số ban đầu.
Bài 13: Khi cộng một số thập phân với một số tự nhiên, một bạn đã quên mất dấu phẩy ở số thập phân và đặt tính như cộng hai số tự nhiên với nhau nên đã được tổng là 807. Em hãy tìm số tự nhiên và số thập đó? Biết tổng đúng của chúng là 241,71.
Bài 14: Khi cộng hai số thập phân người ta đã viết nhầm dấu phẩy của số hạng thứ hai sang bên phải một chữ số do đó tổng tìm được là 49,1. Đáng lẽ tổng của chúng phải là 27,95. Hãy tìm hai số hạng đó.
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 15 : Cho số có hai chữ số. Nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại ta được số mới bé hơn số phải tìm. Biết tổng của số đó với số mới là 143, tìm số đã cho.
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
B. PHÉP TRỪ
I. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ
1. a - (b + c) = (a - c) - b = (a - b) - c
2. Nếu số bị trừ và số trừ cùng tăng (hoặc giảm) n đơn vị thì hiệu của chúng không đổi.
3. Nếu số bị trừ được gấp lên n lần và giữ nguyên số trừ thì hiệu được tăng thêm một số đúng bằng (n -1) lần số bị trừ. (n > 1).
4. Nếu số bị trừ giữ nguyên, số trừ được gấp lên n lần thì hiệu bị giảm đi (n - 1) lần số trừ. (n > 1).
5. Nếu số bị trừ được tăng thêm n đơn vị, số trừ giữ nguyên thì hiệu tăng lên n đơn vị.
6. Nếu số bị trừ tăng lên n đơn vị, số trừ giữ nguyên thì hiệu giảm đi n đơn vị.
II. Bài tập
Bài 1: Tính nhanh:
Bài 2: Tính nhanh:

a)
b)
c)

d)
Bài 3: Tính nhanh:
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 4: Tính nhanh:
a) 46,55 + 20,33 + 25,67 b) 20 - 0,5 - 1,5 - 2,5 - 3,5 - 4,5 - 5,5
Bài 5: Tìm hai số có hiệu là 23, biết rằng nếu giữ nguyên số trừ và gấp số bị trừ lên 3 lần thì được hiệu là 353.
Bài 6: Tìm hai số có hiệu là 383, biết rằng nếu giữ nguyên số bị trừ và gấp số trừ lên 4 lần thì được hiệu mới là 158.
Bài 7: Hiệu của hai số tự nhiên là 4441, nếu viết thêm một chữ số 0 vào bên phải số trừ và giữ nguyên số bị trừ thì được hiệu mới là 3298.
Bài 8: Hiệu của hai số tự nhiên là 134. Viết thêm một chữ số vào bên phải của số bị trừ và giữ nguyên số trừ thì hiệu mới là 2297. Tìm chữ số viết thêm và hai số đó.
Bài 9: Hiệu của hai số là 3,58. Nếu gấp số trừ lên 3 lần thì được số mới lớn hơn số bị trừ là 7,2. Tìm hai số đó.
Bài 10: Hiệu của hai số là 1,4. Nếu tăng một số lên 5 lần và giữ nguyên số kia thì được hai số có hiệu là 145,4. Tìm hai số đó.
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 11: Thầy giáo bảo An lấy một số tự nhiên trừ đi một số thập phân có một chữ số ở phần thập phân. An đã biến phép trừ đó thành phép trừ hai số tự nhiên nên được hiệu là 433. Biết hiệu đúng là 671,5. Hãy tìm số bị trừ và số trừ ban đầu.
Bài 12: Hiệu hai số là 3,8. Nếu gấp số trừ lên hai lần thì được số mới hơn số bị trừ là 4,9. Tìm hai số đã cho.
Bài 13: Trong một phép trừ, nếu giảm số bị trừ 14 đơn vị và giữ nguyên số trừ thì được hiệu là 127, còn nếu giữ nguyên số bị trừ và gấp số trừ lên 3 lần thì được hiệu bằng 51. Tìm số bị trừ và số trừ.
Bài 14: Hiệu của 2 số là 45,16. Nếu dịch chuyển dấu phảy của số bị trừ sang bên trái một
hàng rồi lấy số đó trừ đi số trừ ta được 1,591. Tìm 2 số ban đầu.
Bài 15: Hai số thập phân có hiệu bằng 9,12. Nếu rời dấu phảy của số bé sang phải một hàng rồi cộng với số lớn ta được 61,04. Tìm 2 số đó.
Bài 16: Hai số có hiệu là 5,37. Nếu rời dấu phẩy của số lớn sang trái một hàng rồi cộng với số bé ta được 11,955. Tìm 2 số đó.
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 17: Khi thực hiện một phép trừ một số có 3 chữ số với một số có 1 chữ số, một bạn đã đặt số trừ dưới cột hàng trăm của số bị trừ nên tìm ra hiệu là 486. Tìm hai số đó, biết hiệu đúng là 783.
Bài 18: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6,8m. Nếu ta bớt mỗi chiều đi 0,2m thì chu vi mới gấp 6 lần chiều rộng mới. Tính diện tích mảnh vườn ban đầu.
Bai 19: Cho một số tự nhiên và một số thập phân có tổng là 265,3. Khi lấy hiệu 2 số đó, một bạn lại quên mất chữ số 0 tận cùng của số tự nhiên nên hiệu tìm được là 9,7. Tìm 2 số đã cho.
Bài 20: Thay các chữ a, b, c bằng các chữ số thích hợp trong mỗi phép tính sau: (mỗi chữ khác nhau được thay bởi mỗi chữ số khác nhau)

Biết a + b = 11.
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
C.PHÉP NHÂN
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. a x b = b x a
2. a x (b x c) = (a x b) x c
3. a x 0 = 0 x a = 0
4. a x 1 = 1 x a = a
5. a x (b + c) = a x b + a x c
6. a x (b - c) = a x b - a x c
7. Trong một tích nếu một thừa số được gấp lên n lần đồng thời có một thừa số khác bị giảm đi n lần thì tích không thay đổi.
8. Trong một tích có một thừa số được gấp lên n lần, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích được gấp lên n lần và ngược lại nếu trong một tích có một thừa số bị giảm đi n lần, các thừa
số còn lại giữ nguyên thì tích cũng bị giảm đi n lần. (n > 0)
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
9. Trong một tích, nếu một thừa số được gấp lên n lần, đồng thời một thừa số được gấp lên m lần thì tích được gấp lên (m x n) lần. Ngược lại nếu trong một tích một thừa số bị giảm đi m lần, một thừa số bị giảm đi n lần thì tích bị giảm đi (m x n) lần. (m và n khác 0)
10. Trong một tích, nếu một thừa số được tăng thêm a đơn vị, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích được tăng thêm a lần tích các thừa số còn lại.
11. Trong một tích, nếu có ít nhất một thừa số chẵn thì tích đó chẵn.
12. Trong một tích, nếu có ít nhất một thừa số tròn chục hoặc ít nhất một thừa số có tận cùng là 5 và có ít nhất một thừa số chẵn thì tích có tận cùng là 0.
13. Trong một tích các thừa số đều lẻ và có ít nhất một thừa số có tận cùng là 5 thì tích có tận cùng là 5.
II. BÀI TẬP
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
II. BÀI TẬP
Bài 1: Tính nhanh:

a)
c)
b)
d)
Bài 3: Tính bằng cách thuận tiện nhất:

a)
b)
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 4: Tính nhanh:
32,4 x 6,34 + 3,66 x 32,4c) 17,2 x 8,55 + 0,45 x 17,2 + 17,2b) 0,6 x 7 + 1,2 x 45 + 1,8 d) 2,17 x 3,8 - 3,8 x 1,17
Bài 5: Tính nhanh:
a) (81,6 x 27,3 - 17,3 x 81,6) x (32 x 11 - 3200 x 0,1 - 32)
b) (13,75 - 0.48 x 5) x (42,75 : 3 + 2,9) x (1,8 x 5 - 0,9 x 10)
c) (792,81 x 0,25 + 792,81 x 0,75) x (109 - 900 x 0,1 - 9)
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 6: Tìm tích của 2 số, biết rằng nếu giữ nguyên thừa số thứ nhất và tăng thừa số thứ 2
lên 4 lần thì được tích mới là 8400.
Bài 7: Tìm 2 số có tích bằng 5292, biết rằng nếu giữ nguyên thừa số thứ nhất và tăng thừa
số thứ hai thêm 6 đơn vị thì được tích mới bằng 6048.
Bài 8: Tìm 2 số có tích bằng 1932, biết rằng nếu giữ nguyên một thừa số và tăng một thừa số thêm 8 đơn vị thì được tích mới bằng 2604.
Bài 9: Trong một phép nhân có thừa số thứ hai là 64, khi thực hiện phép nhân một người đã viết các tích riêng thẳng cột với nhau nên kết quả tìm được là 870. Tìm tích đúng của phép nhân?
Bài 10: Khi nhân 254 với số có 2 chữ số giống nhau, bạn Bình đã đặt các tích riêng thẳng cột như trong phép cộng nên tìm ra kết quả so với tích đúng giảm đi 16002 đơn vị. Hãy tìm số có 2 chữ số đó.
Bài 11: Toàn thực hiện một phép nhân có thừa số thứ 2 là một số có 1 chữ số nhưng Toàn đã viết lộn ngược thừa số thứ 2 này. Vì thế tích tăng lên 432 đơn vị. Tìm phép tính Toàn phải thực hiện.
Bài 12: Khi nhân một số với 4,05 một học sinh thực hiện phép nhân này do sơ xuất đã đặt các tích riêng thẳng cột với nhau nên tích tìm được là 45,36. Hãy tìm phép nhân đó.
Bài 13: Khi thực hiện phép nhân 983 với một số có 3 chữ số, bạn Bình đã đặt tích riêng thứ hai thẳng cột với tích riêng thứ ba nên được kết quả là 70776. Em hãy tìm thừa số có ba chữ số chưa biết trong phép nhân trên, biết chữ số hàng trăm hơn chữ số hàng chục là 1 đơn vị.
Bài 14: Khi nhân 32,4 với một số có hai chữ số, bạn Minh đã sơ ý đặt tích riêng thứ hai thẳng cột với tích riêng thứ nhất nên tích tìm được là 324. Hãy tìm tích đúng của phép nhân đó, biết thừa số chưa biết có chữ số hàng đơn vị bằng chữ số hàng chục.
Bài 15: Khi nhân một số có ba chữ số với số có hai chữ số, một bạn đã đặt tích riêng thẳng cột nên kết qủa so với tích đúng bị giảm đi 3429 đơn vị. Hãy tìm tích đúng, biết tích đúng là một số lẻ vừa chia hết cho 5, vừa chia hết cho 9.
Bài 16: Một học sinh khi nhân một số với 1007 đã quên viết hai chữ số 0 của số 1007 nên kết quả tìm được so với tích đúng bị giảm đi 3153150 đơn vị. Tìm số đó.
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 17: Khi nhân một số có ba chữ số với 207 một học sinh đã đặt tính như sau:
Và được kết quả là 3861. Tìm tích đúng của phép nhân đó.





Bài 18: Tìm hai số có tích bằng 30618. Biết rằng thừa số thứ nhất là 23. Nếu giảm thừ số thứ nhất 2 đơn vị và tăng thừa số thứ hai lên 2 đơn vị thì tích sẽ tăng lên 20 đơn vị. Hãy tìm tích của hai số đó.
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 19: Một hình chữ nhật nếu giảm chiều dài đi 25% chiều dài thì chiều rộng phải thay đổi như thế nào để diện tích của hình không thay đổi?
Bài 20: Một học sinh khi nhân 784 với một số có ba chữ số thì được tích là 25280.
a) Làm thế nào để biết kết quả trên là sai?
b) Phép tính trên sai vì học sinh đó đã viết tích riêng thứ ba thẳngcột với tích riêng thứ hai. Hỏi số nhân sẽ là bao nhiêu? Biết chữ số hàng trăm của số nhân lớn hơn chữ số hàng chục của nó là 2 đơn vị.
Bài 21: Tìm 2 số, biết tổng gấp 5 lần hiệu và bằng tích của chúng.
Bài 22: Tìm 2 số, biết tổng gấp 3 lần hiệu và bằng nửa tích của chúng.
Bài 23: Tìm hai số đó biết tích của hai số đó gấp 4,2 lần tổng của hai số và tổng lại gấp 5 lần hiệu của hia số.
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 24: Không tính tổng, hãy biến đổi tổng sau thành tích có 2 thừa số.
a) 462 + 273 + 315 + 630
b) 209 + 187 + 726 + 1078
c) 5555 + 6767 + 7878
d) 1997,1997 + 1998,1998 + 1999,1999
Bài 25: So sánh A và B biết:
a. A = 73 x 73 B = 72 x 74
b. A = 1991 x 1999 B = 1995 x 1995
c. A = 198719871987 x 1988198819881988
B = 198819881988 x 1987198719871987
d. A = 19,91 x 19,99 B = 19,95 x 19,95
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
D. PHÉP CHIA
I. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ
1. a : (b x c) = a : b : c = a : c : b (b, c > 0)
2. 0 : a = 0 (a > 0)
3. a : c - b : c = ( a - b) : c (c > 0)
4. a : c + b : c = (a + b) : c (c > 0)
5. Trong phép chia, nếu số bị chia tăng lên (giảm đi) n lần (n > 0) đồng thời số chia giữ
nguyên thì thương cũng tăng lên (giảm đi) n lần.
6. Trong một phép chia, nếu tăng số chia lên n lần (n > 0) đồng thời số bị chia giữ nguyên thì thương giảm đi n lần và ngược lại.
7. Trong một phép chia, nếu cả số bị chia và số chia đều cùng gấp (giảm) n lần (n > 0) thì thương không thay đổi.
8. Trong một phép chia có dư, nếu số bị chia và số chia cùng được gấp (giảm) n lần (n > 0) thì số dư cũng được gấp (giảm ) n lần.
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
II. BÀI TẬP
Bài 1: Tính nhanh:
a) 1875 : 2 + 125 : 2b) 20,48 : 3,2 + 11,52 : 3,2c) 62,73 : 8,4 + 21,27 : 8,4d) 43,3 : 2,5 - 19,3 : 2,5Bài 2: Tính nhanh:
a) (82 - 41 x 2) : 36 x (32 + 17 + 99 - 81 + 1)
b) (m : 1 - m x 1) : (m x 2005 + m + 1)
c) (30 : 7,5 + 0,5 x 3 - 1,5) x (4,5 - 9 : 2)
d) (4,5 x 16 - 1,7) : (4,5 x 15 + 2,8)
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 3: Nam làm một phép chia có dư là số dư lớn nhất có thể có. Sau đó Nam gấp cả số bị chia và số chia lên 3 lần. ở phép chia mới này, số thương là 12 và số dư là 24. Tìm phép chia Nam thực hiện ban đầu?
Bài 4: Số A chia cho 12 dư 8. Nếu giữ nguyên số chia thì số A phải thay đổi như thế nào để thương tăng thêm 2 đơn vị và phép chia không có dư?
Bài 5: Một số chia cho 18 dư 8. Để phép chia không còn dư và thương giảm đi 2 lần thì phải thay đổi số bị chia như thế nào?
Bài 6: Nếu chia số bị chia cho 2 lần số chia thì ta được 6. Nếu ta chia số bị chia cho 3 lần số thương thì cũng được 6. Tìm số bị chia và số chia trong phép chia đầu tiên.
Bài 7: Nếu chia số bị chia cho 2 lần số chia thì ta được 0,6. Nếu ta chia số bị chia cho 3 lần số thương thì cũng được 0,6. Tìm số bị chia và số chia trong phép chia đầu tiên?
Bài 8: Một phép chia có thương là 6, số dư là 3. Tổng số bị chia, số chia và số dư bằng 195. Tìm số bị chia và số chia?
Bài 9: Cho 2 số, lấy số lớn chia cho số nhỏ được thương là 7 và số dư lớn nhất có thể có được là 48. Tìm 2 số đó.
Bài 10: Tìm thương của phép chia, biết nó bằng số bị chia và gấp 3 lần số chia.
Bài 11: Tìm thương của 2 số biết rằng số lớn gấp 5 lần thương và thương bằng 3 lần số nhỏ.
Bài 12: Hiệu 2 số là 33. Lấy số lớn chia cho số nhỏ được thương là 3 và số dư là 3. Tìm 2 số đó.
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
E. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
I. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ
1. Biểu thức không có dấu ngoặc đơn chỉ có phép cộng và phép trừ (hoặc chỉ có phép nhân và phép chia) thì ta thực hiện các phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.
Ví dụ: 542 + 123 - 79 482 x 2 : 4
= 665 - 79 = 964 : 4
= 586 = 241
2. Biểu thức không có dấu ngoặc đơn, có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia thì ta thực hiện các phép tính nhân, chia trước rồi thực hiện các phép tính cộng trừ sau.
Ví dụ: 27 : 3 - 4 x 2
= 9 - 8
= 1
3. Biểu thức có dấu ngoặc đơn thì ta thực hiện các phép tính trong ngoặc đơn trước, các phép tính ngoài dấu ngoặc đơn sau
Ví dụ: 25 x (63 : 3 + 24 x 5)
= 25 x (21 + 120)
=25 x 141
=3525
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
II. BÀI TẬP
Bài 1: Tính:
a. 70 - 49 : 7 + 3 x 6 b. 4375 x 15 + 489 x 72c. (25915 + 3550 : 25) : 71d. 14 x 10 x 32 : (300 + 20)Bài 2: Tính:
a) (85,05 : 27 + 850,5) x 43 - 150,97
b) 0,51 : 0,17 + 0,57 : 1,9 + 4,8 : 0,16 + 0,72 : 0,9
Bài 3: Viết dãy số có kết quả bằng 100:
a) Với 5 chữ số 1.
b) Với 5 chữ số 5.
Bài 4: Cho dãy tính: 128 : 8 x 16 x 4 + 52 : 4. Hãy thêm dấu ngoặc đơn vào dãy tính đó sao cho:
a) Kết quả là nhỏ nhất có thể? b) Kết quả là lớn nhất có thể ?
Bài 5: Hãy điền thêm dấu ngoặc đơn vào biểu thức sau:
A = 100 - 4 x 20 - 15 + 25 : 5
a) Sao cho A đạt giá trị lớn nhất và giá trị lớn nhất là bao nhiêu?
b) Sao cho A đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất đó là bao nhiêu?
Bài 6: Tìm giá trị số tự nhiên của a để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất , giá trị nhỏ nhất đó là bao nhiêu?
A = (a - 30) x (a - 29) x …x (a - 1)
Bài 7: Tìm giá trị của số tự nhiên a để biểu thức sau có giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhất đó là bao nhiêu?
A = 2006 + 720 : (a - 6)
Bài 8: Tính giá trị của biểu thức m x 2 + n x 2 + p x 2, biết:
a) m = 2006, n = 2007, p = 2008 b) m + n + p = 2009
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 9: Tính giá trị của biểu thức M, với a = 119 và b = 0, biết:
M = b: (119 x a + 2005) + (119 : a - b x 2005)
Bài 10: Tính giá trị biểu thức:
a)

b)

c)



d)

e)
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 11: Tính giá trị của biểu thức:
a)


c)
e)

h)
k)

m)
b)

d)
g)
i)
l)
n)
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
p)
Bài 12: Tính:

a)
) 1
c)
d
e)
b
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 13: Thực hiện các phép tính sau:


Bài 14: Tìm y:
= 64
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 15: Tìm số tự nhiên n sao cho:
Bài 16: Tìm x là số tự nhiên biết:
a)
b)
c)

d)
e)
g)
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
PHẦN BA
DÃY SỐ
I. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ
1. Đối với số tự nhiên liên tiếp :
a) Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu là số chẵn kết thúc là số lẻ hoặc bắt đầu là số lẻ và kết thúc bằng số chẵn thì số lượng số chẵn bằng số lượng số lẻ.
b) Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu bằng số chẵn và kết thúc bằng số chẵn thì số lượng số chẵn nhiều hơn số lượng số lẻ là 1.
c) Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu bằng số lẻ và kết thúc bằng số lẻ thì số lượng số lẻ nhiều hơn số lượng số chẵn là 1.
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
2. Một số quy luật của dãy số thường gặp:
a) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng hoặc trừ một số tự nhiên d.
b) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân hoặc chia một số tự nhiên q (q > 1).
c) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng hai số hạng đứng liền trước nó.
d) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng các số hạng đứng liền trước nó cộng với số tự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy.
e) Mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với số thứ tự của số hạng ấy.
f) Mỗi số hạng bằng số thứ tự của nó nhân với số thứ tự của số hạng đứng liền sau nó.
........
3. Dãy số cách đều:
a) Tính số lượng số hạng của dãy số cách đều:
Số số hạng = (Số hạng cuối - Số hạng đầu) : d + 1
(d là khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp)
Ví dụ: Tính số lượng số hạng của dãy số sau:
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, …, 94, 97, 100.
Ta thấy:
Vậy dãy số đã cho là dãy số cách đều, có khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp là 3 đơn vị. Nên số lượng số hạng của dãy số đã cho là:
(100 - 1) : 3 + 1 = 34 (số hạng)
b) Tính tổng của dãy số cách đều:
Ví dụ : Tổng của dãy số 1, 4, 7, 10, 13, …, 94, 97, 100 là:
= 1717
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
II. BÀI TẬP
Bài 1: Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau:
Bài 2: Viết tiếp 2 số hạng vào dãy số sau:
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 3: Tìm số hạng đầu tiên của dãy sau. Biết mỗi dãy có 10 số hạng:
Bài 4: Tìm 2 số hạng đầu của các dãy số, trong mỗi dãy đó có 15.:
Bài 5: Cho dãy số : 1, 4, 7, 10, ..., 31, 34, ...
a) Tìm số hạng thứ 100 trong dãy. b) Số 2002 có thuộc dãy này không?
Bài 6: Cho dãy số : 3, 18, 48, 93, 153, ...
a) Tìm số hạng thứ 100 của dãy. b) Số 11703 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?
Bài 7: Cho dãy số : 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; ... ; 108,9 ; 110,0 .
a) Dãy số này có bao nhiêu số hạng? b) Số hạng thứ 50 của dãy là số nào?
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 8: Hãy cho biết :
a) Các số 50 và 133 có thuộc dãy 90, 95, 100, … hay không?
b) Số 1996 thuộc dãy 2, 5, 8, 11,… hay không?
c) Số nào trong các số 666, 1000, 9999 thuộc dãy 3, 6, 12, 24, … ?
Hãy giải thích tại sao?
Bài 9: Cho dãy số 1, 7, 13, 19, 25, … Hãy cho biết các số: 351, 400, 570, 686, 1975 có thuộc dãy số đã cho hay không?
Bài 10: Cho dãy số tự nhiên liên tiếp 1, 2, 3, 4, ..., 1999.
Hỏi dãy số đó có bao số hạng?
Bài 11: Cho dãy số chẵn liên tiếp 2, 4, 6, 8, 10, ..., 2468. Hỏi dãy có:
a) Bao nhiêu số hạng? b) Bao nhiêu chữ số
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 12: Cho dãy số 1, 5, 9, 13, ..., 2005. Hỏi:
a) Dãy số có bao nhiêu số hạng? b) Dãy số có bao nhiêu chữ số?
Bài 13: Hãy tính tổng của các dãy số sau:
a) 4, 9, 14, 19, 24, …, 999. b) 1, 5, 9, 13, 17, …Biết dãy số có 80 số hạng.
c) ..., 17, 27, 44, 71, 115. Biết dãy số có 8 số hạng.
Bài 14: Tính nhanh:
a) Tính tổng các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 1995.
b) Tính tổng của 100 số tự nhiên đầu tiên.
Bài 15: Tính nhanh:
a) 1,27 + 2,77 + 4,27 + 5,77 + 7,27 + … + 13,27 + 14,77
b) 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + … + 0,9 + 0,10 + 0,11 + 0,12 + … + 0,19.
c) 10,11 + 11,12 + 12,13 + 13,14 + …+ 97,98 + 98,99 + 99,100 .
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 16: Để đánh số trang sách của một cuốn sách dày 220 trang, người ta
phải dùng bao nhiêu lượt chữ số?
Bài 17: Trong một kỳ thi có 327 thí sinh dự thi. Hỏi người ta phải dùng bao nhiêu lượt chữ số để đánh số báo danh cho các thí sinh dự thi?
Bai 18: Để đánh số thứ tự các trang sách của sách giáo khoa Toán 4, người ta phải dùng 216 lượt các chữ số. Hỏi cuốn sách đó dày bao nhiêu trang?
Bài 19: Trong một kỳ thi học sinh giỏi lớp 5, để đánh số báo danh cho các thí sinh dự thi
người ta phải dùng 516 lượt chữ số. Hỏi kỳ thi đó có bao nhiêu thí sinh tham dự?
Bài 20: Cho dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 1983 được viết theo thứ tự liền nhau như sau: 12345678910111213…19821983. Hãy tính tổng của tất cả các chữ số vừa viết.
Bài 21: Cho dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 đến 1995. Hỏi trong dãy số đó có:
a) Bao nhiêu chữ số 1? b) Bao nhiêu chữ số 5?
Bài 22: Khi viết tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 500. Hỏi phải sử dụng bao nhiêu chữ số 5?
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 23: Cho dãy số:
a) 1, 2, 3, 4, 5, …, x. Tìm x biết dãy có 1989 chữ số.
b) 1, 2, 3, 4, 5, ... , x. Tìm x để số chữ số của dãy gấp 2 lần số số hạng.
c) 1, 2, 3, 4, 5, ... , x. Tìm x để số chữ số của dãy gấp 3 lần số số hạng.
Bài 24: Cho dãy số 10, 11, 12, 13, …, x. Tìm x để tổng của dãy số trên bằng 5106.
Bài 25: Cho dãy số: 0, 2, 4, 6, 8, ...., x. Tìm x để số chữ số của dãy số gấp 2 lần số số hạng.
Bài 26: Cho dãy số: 0, 1, 2, 3, 4, …, x. Tìm x để số chữ số của dãy gấp 3 lần số số hạng.
Bài 27: Tính:
a) 1- 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9.
b) 1 - 3 + 5 - 7 + 9 - 11 + … + 91 - 93 + 95 - 97 + 99.
c) 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + …+ 98 - 99 - 100 + 101
Bài 28: Tính giá trị biểu thức sau bằng cách hợp lí:
B = 1,3 - 3,2 + 5,1-7 + 8,9 - 10,8 + …+ 35,5 - 37,4 + 39,3 - 41,2 + 43,1
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Phân mới bổ sung
Bài 1: Điền thêm 3 số hạng vào dãy số sau:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34……
Muốn giải được bài toán trên trước hết phải xác định quy luật của dãy số như sau:
Ta thấy: 1 + 2 = 3 3 + 5 = 8
2 + 3 = 5 5 + 8 = 13
Dãy số trên được lập theo quy luật sau: Kể từ số hạng thứ 3 trở đi mỗi số hạng bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nó.
Ba số hạng tiếp theo là: 21 + 34 = 55; 34 + 55 = 89; 55 + 89 = 144
Vậy dãy số được viết đầy đủ là: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 34, 55, 89, 144
Bài 2: Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27
Ta nhận thấy: 8 = 1 + 3 + 4 27 = 4+ 8 + 15
15 = 3 + 4 + 8
Từ đó ta rút ra được quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng của ba số hạng đứng liền trước nó.
Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27, 50, 92, 169.
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 3: Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau biết rằng mỗi dãy số có 10 số hạng.
a)…, …, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 
b)..., ..., 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110 
Giải:
a). Ta nhận xét :
Số hạng thứ 10 là : 1024 = 512 x 2
Số hạng thứ 9 là : 512 = 256 x 2
Số hạng thứ 8 là : 256 = 128 x 2
Số hạng thứ 7 là : 128 = 64 x 2
……………………………..
Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số này là: mỗi số hạng của dãy số gấp đôi số hạng đứng liền trước đó.
Vậy số hạng đầu tiên của dãy là: 1 x 2 = 2.
b). Ta nhận xét :
Số hạng thứ 10 là : 110 = 11 x 10
Số hạng thứ 9 là : 99 = 11 x 9
Số hạng thứ 8 là : 88 = 11 x 8
Số hạng thứ 7 là : 77 = 11 x 7
…………………………..
Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng số thứ tự của số hạng ấy nhân với 11.
Vậy số hạng đầu tiên của dãy là : 1 x 11 = 11.
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 4: Tìm các số còn thiếu trong dãy số sau :
a. 3, 9, 27, ..., ..., 729.
b. 3, 8, 23, ..., ..., 608.
Giải :
Muốn tìm được các số còn thiếu trong mỗi dãy số, cần tim được quy luật của mỗi dãy số đó.
a. Ta nhận xét : 3 x 3 = 9
9 x 3 = 27
Quy luật của dãy số là: Kể từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng gấp 3 lần số liền trước nó.
Vậy các số còn thiếu của dãy số đó là:
27 x 3 = 81 ; 81 x 3 = 243 ; 243 x 3 = 729 (đúng).
Vậy dãy số còn thiếu hai số là : 81 và 243.
b. Ta nhận xét: 3 x 3 – 1 = 8 ; 8 x 3 – 1 = 23.
..........................................
Quy luật của dãy số là: Kể từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng bằng 3 lần số liền trước nó trừ đi 1. Vì vậy, các số còn thiếu ở dãy số là:
23 x 3 - 1 = 68 ; 68 x 3 – 1 = 203 ; 203 x 3 – 1 = 608 (đúng).
Dãy số còn thiếu hai số là: 68 và 203.
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 5: Lúc 7h sáng, một người đi từ A đến B và một người đi từ B đến A ; cả hai cùng đi đến đích của mình lúc 2h chiều. Vì đường đi khó dần từ A đến B ; nên người đi từ A, giờ đầu đi được 15km, cứ mỗi giờ sau đó lại giảm đi 1km. Người đi từ B giờ cuối cùng đi được 15km, cứ mỗi giờ trước đó lại giảm 1km. Tính quãng đường AB.
Giải:
2 giờ chiều là 14h trong ngày.
2 người đi đến đích của mình trong số giờ là:
14 – 7 = 7 giờ.
Vận tốc của người đi từ A đến B lập thành dãy số:
15, 14, 13, 12, 11, 10, 9.
Vận tốc của người đi từ B đến A lập thành dãy số:
9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.
Nhìn vào 2 dãy số ta nhận thấy đều có các số hạng giống nhau vậy quãng đường AB là: 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 84
Đáp số: 84km.
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 6: Điền các số thích hợp vào ô trống sao cho tổng số 3 ô liên tiếp đều bằng 2010
Giải:
Ta đánh số thứ tự các ô như sau:
Theo điều kiện của đề bài ta có:
783 + Ô7 + Ô8 = 2010.
Ô7 + Ô8 + Ô9 = 2010.
Vậy Ô9 = 783; từ đó ta tính được:
Ô8 = Ô5 = Ô2 = 2010 - (783 + 998) = 229
Ô7 = Ô4 = Ô1 = 998
Ô3 = Ô6 = 783.
Điền các số vào ta được dãy số:
Một số lưu ý khi giảng dạy Toán dạng này là: Trước hết phải xác định được quy luật của dãy là dãy tiến, dãy lùi hay dãy số theo chu kỳ. Từ đó mà học sinh có thể điền được các số vào dãy đã cho.
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
* Bài tập tự luyện:
Bài 1: 13, 19, 25, 31,……,
Dãy số vừa được viết ra
Ba số viết tiếp là ba số nào?
Số nào suy nghĩ thấp cao?
Đố em, đố bạn làm sao kể liền?
Bài 2: Tìm và viết ra các số hạng còn thiếu trong dãy số sau:
a. 7, 10, 13,…, …, 22, 25.
b. 103, 95, 87,…, …, ...., 55, 47.
Bài 3: Điền số thích hợp vào ô trống, sao cho tổng các số ở 3 ô liền nhau bằng:
a. n = 14,5
b. n = 23,4
Bài 4: Cho dãy phân số sau:
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 4: Cho dãy phân số sau:
;
;
;
Hãy viết tiếp số hạng thứ năm của dãy theo đúng quy luật?
Chứng tỏ dãy trên là một dãy xếp theo thứ tự tăng dần?
Bài 5: Viết tiếp ba số hạng vào dãy số sau :
a) 1; 3; 4; 7; 11; 18;...
b) 0; 2; 4; 6; 12; 22;...
c) 0 ; 3; 7; 12;...
d) 1; 2; 6; 24;...
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Dạng 2: Xác định số A có thuộc dãy đã cho hay không?
Cách giải của dạng toán này:
- Xác định quy luật của dãy;
- Kiểm tra số A có thoả mãn quy luật đó hay không?
Các ví dụ:
Bài 1: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8,……
a. Dãy số được viết theo quy luật nào?
b. Số 2009 có phải là số hạng của dãy không? Vì sao?
Giải:
a. Ta nhận thấy: Số hạng thứ 1: 2 = 2 x 1
Số hạng thứ 2: 4 = 2 x 2
Số hạng thứ 3: 6 = 2 x 3
….........
Số hạng thứ n: ? = 2 x n
Quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng 2 nhân với số thứ tự của số hạng ấy.
b. Ta nhận thấy các số hạng của dãy là số chẵn, mà số 2009 là số lẻ, nên số 2009 không phải là số hạng của dãy.
Bài 2: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, 14, 17,……
- Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số trên?
- Số 2009 có thuộc dãy số trên không? Tại sao?
Giải:
- Ta thấy: 8 – 5 = 3; 11 – 8 = 3; ………
Dãy số trên được viết theo quy luật sau: Kể từ số thứ 2 trở đi, mỗi số hạng bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với 3.
Vậy 3 số hạng tiếp theo của dãy số là:
17 + 3 = 20 ; 20 + 3 = 23 ; 23 + 3 = 26
Dãy số được viết đầy đủ là: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26.
Ta thấy: 2 : 3 = 0 dư 2 ; 5 : 3 = 1 dư 2 ; 8 : 3 = 2 dư 2 ; .....
Vậy đây là dãy số mà mỗi số hạng khi chia cho 3 đều dư 2. Mà:
2009 : 3 = 669 dư 2. Vậy số 2009 có thuộc dãy số trên vì cũng chia cho 3 thì dư 2.
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 3: Em hãy cho biết:
a. Các số 60, 483 có thuộc dãy 80, 85, 90,…… hay không?
b. Số 2002 có thuộc dãy 2, 5, 8, 11,…… hay không?
c. Số nào trong các số 798, 1000, 9999 có thuộc dãy 3, 6, 12, 24,…… giải thích tại sao?
Giải:
a. Cả 2 số 60, 483 đều không thuộc dãy đã cho vì:
- Các số hạng của dãy đã cho đều lớn hơn 60.
- Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 5, mà 483 không chia hết cho 5.
b. Số 2002 không thuộc dãy đã cho vì mọi số hạng của dãy khi chia cho 3 đều dư 2, mà 2002 chia 3 thì dư 1.
c. Cả 3 số 798, 1000, 9999 đều không thuộc dãy 3, 6, 12, 24,… vì:
- Mỗi số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) đều gấp đôi số hạng liền trước nhận nó; cho nên các số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước là số chẵn, mà 798 chia cho 2 = 399 là số lẻ.
- Các số hạng của dãy đều chia hết cho 3, mà 1000 lại không chia hết cho 3.
- Các số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) đều chẵn, mà 9999 là số lẻ.
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 4: Cho dãy số: 1; 2,2; 3,4; ……; 13; 14,2.
Nếu viết tiếp thì số 34,6 có thuộc dãy số trên không?
Giải:
- Ta nhận xét: 2,2 - 1 = 1,2; 3,4 - 2,2 = 1,2; 14,2 - 13 = 1,2;……
Quy luật của dãy số trên là: Từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng đều hơn số hạng liền trước nó là 1,2 đơn vị:
- Mặt khác, các số hạng trong dãy số trừ đi 1 đều chia hết cho 1,2.
Ví dụ: (13 - 1) chia hết cho 1,2
(3,4 - 1) chia hết cho 1,2
Mà: (34,6 - 1) : 1,2 = 28 dư 0.
Vậy nếu viết tiếp thì số 34,6 cũng thuộc dãy số trên.
Bài 5: Cho dãy số: 1996, 1993, 1990, 1987,……, 55, 52, 49.
Các số sau đây có phải là số hạng của dãy không?
100, 123, 456, 789, 1900, 1436, 2009?
Giải:
Nhận xét: Đây là dãy số cách đều 3 đơn vị.
Trong dãy số này, số lớn nhất là 1996 và số bé nhất là 49. Do đó, số 2009 không phải là số hạng của dẫy số đã cho vì lớn hơn 1996.
Các số hạng của dãy số đã cho là số khi chia cho 3 thì dư 1. Do đó, số 100 và số 1900 là số hạng của dãy số đó.
Các số 123, 456, 789 đều chia hết cho 3 nên các số đó không phải là số hạng của dãy số đã cho.
Số 1436 khi chia cho 3 thì dư 2 nên không phải là số hạng của dãy số đã cho.