ôn thi vào lớp 10

50 bài toán hình học lớp 9

Bài 31 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O; R), biết (BAC = 600.
Tính số đo góc BOC và độ dài BC theo R.
Vẽ đường kính CD của (O; R); gọi H là giao điểm của ba đường cao của tam giác ABC Chứng minh BD // AH và AD // BH.
Tính AH theo R.
Lời giải:
1. Theo giả thiết (BAC = 600 => s1200 ( t/c góc nội tiếp )
=> (BOC = 1200 ( t/c góc ở tâm) .
* Theo trên s1200 => BC là cạnh của một tam giác đều nội tiếp (O; R) => BC = R
2. CD là đường kính => (DBC = 900 hay DB ( BC; theo giả thiết AH là
đường cao => AH ( BC => BD // AH. Chứng minh tương tự ta cũng được AD // BH.
3. Theo trên (DBC = 900 => (DBC vuông tại B có BC = RCD = 2R.
=> BD2 = CD2 – BC2 => BD2 = (2R)2 – (R2 = 4R2 – 3R2 = R2 => BD = R.
Theo trên BD // AH; AD // BH => BDAH là hình bình hành => AH = BD => AH = R.
Bài 32 Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H của OB.
Chứng minh khi MN di động , trung điểm I của MN luôn nằm trên một đường tròn cố định.
Từ A kẻ Ax ( MN, tia BI cắt Ax tại C. Chứng minh tứ giác CMBN là hình bình hành.
Chứng minh C là trực tâm của tam giác AMN.
Khi MN quay quanh H thì C di động trên đường nào.
Cho AM. AN = 3R2 , AN = RTính diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài tam giác AMN.
Lời giải: (HD)
1. I là trung điểm của MN => OI ( MN tại I ( quan hệ đường kính và dây cung) = > (OIH = 900 .
OH cố địmh nên khi MN di động thì I cũng di động nhưng luôn nhìn OH cố định dưới một góc 900 do đó I di động trên đường tròn đường kính OH. Vậy khi MN di động , trung điểm I của MN luôn nằm trên một đường tròn cố định.
2. Theo giả thiết Ax ( MN; theo trên OI ( MN tại I => OI // Ax hay OI // AC mà O là trung điểm của AB => I là trung điểm của BC, lại có I là trung điểm của MN (gt) => CMBN là hình bình hành ( Vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ).
3. CMBN là hình bình hành => MC // BN mà BN ( AN ( vì (ANB = 900 do là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => MC ( AN; theo trên AC ( MN => C là trực tâm của tam giác AMN.
4. Ta có H là trung điểm của OB; I là trung điểm của BC => IH là đường tung bình của (OBC => IH // OC Theo giả thiết Ax ( MN hay IH ( Ax => OC ( Ax tại C => (OCA = 900 => C thuộc đường tròn đường kính OA cố định. Vậy khi MN quay quanh H thì C di động trên đường tròn đường kính OA cố định.
5. Ta có AM. AN = 3R2 , AN = R=> AM =AN = R(AMN cân tại A. (1)
Xét (ABN vuông tại N ta có AB = 2R; AN = R=> BN = R => (ABN = 600 .
(ABN = (AMN (nội tiếp cùng chắn cung AN) => (AMN = 600 (2).
Từ (1) và (2) => (AMN là tam giác đều => S(AMN =
=> S = S(O) - S(AMN = - =