Ôn tập Chương II. Tam giác

Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác

Tính chất các đường trong tam giác

Tam giác đều
Bài số 3
1. các trường hợp bằng nhau của hai tam giác thường
Trường hợp c.g.c
Trường hợp c.c.c
Trường hợp g.c.g
Cho tam giác ? ABC và ? DEF có : AB = EF ; AC = DF ; ...... = ....... ? ? ......... = ? ......... (c.g.c)
ví dụ 1 :
Cho tam giác ? ABC và ? DEF có : AB = EF ; AC = DF ; ...... = ....... ? ? ......... = ? ......... (c.c.c)
ví dụ 2 :
Cho tam giác ? ABC và ? DEF có : AB = EF ; ...... = ....... ; ...... = ....... ? ? ......... = ? ......... (g.c.g)
ví dụ 3 :
2. các trường hợp bằng nhau đặc biệt của hai tam giác vuông
Trường hợp cạnh huyền - góc nhọn
Trường hợp cạnh góc vuông - góc nhọn
Trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông
Dựa vào các trường hợp bằng nhau của hai tam giác, em hãy giải thích tại sao hai tam giác vuông có các điều kiện như trên thì lại bằng nhau ?
Câu hỏi 1?
Trường hợp cạnh huyền - góc nhọn (g.c.g)
Trường hợp cạnh góc vuông - góc nhọn (g.c.g)
Trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông (c.c.c)
Trả lời :
Hai tam giác vuông còn có trường hợp bằng nhau nào khác nữa không ?
câu hỏi 2 ?
Có hai cạnh góc vuông bằng nhau (c.g.c)
Trả lời :
3. tính chất các đường trong tam giác
Trung trực
Trung tuyến
Đường cao
Phân giác
3.1 Ba đường trung trực của tam giác
Định nghĩa : là đường trung trực của các cạnh trong tam giác
3.1 Ba đường trung trực của tam giác
Tính chất : ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm, điểm này gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Điểm này có tính chất cách đều ba đỉnh của tam giác
3.1 Ba đường trung trực của tam giác
Ví dụ : Giả sử O là điểm đồng quy của ba đường trung trực trong tam giác ABC thì :
Điểm O gọi là ...............
Điểm O có tính chất ............=...........=........
3.2 Ba đường phân giác của tam giác
Định nghĩa : là đường phân giác của các góc trong tam giác
3.2 Ba đường phân giác của tam giác
Tính chất : ba đường phân giác của tam giác đồng quy tại một điểm, điểm này gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Điểm này có tính chất cách đều ba cạnh của tam giác
3.2 Ba đường phân giác của tam giác
Ví dụ : Giả sử O` là giao điểm của hai đường phân giác góc N và Q trong tam giác NPQ thì :
Điểm O` gọi là ...............
Điểm O` có tính chất ...........=.............=..........
O`P cũng là ..................
3.3 Ba đường trung tuyến của tam giác
Định nghĩa : là đoạn thẳng xuất phát từ đỉnh và đi qua trung điểm cạnh đối diện
3.3 Ba đường trung tuyến của tam giác
Tính chất : ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm, điểm này gọi là trọng tâm tam giác. Điểm này có tính chất chia trung mỗi tuyến thành 2 phần, từ nó đến đỉnh gấp đôi từ nó đến trung điểm
3.3 Ba đường trung tuyến của tam giác
Ví dụ : Giả sử G là giao điểm của hai đường trung tuyến WZ và UX trong tam giác UVW thì :
Điểm G gọi là ...............
Điểm G có tính chất ......=....... ; ...................
Ba điểm V, G và trung điểm Y của WU sẽ ......
3.4 Ba đường cao của tam giác
Định nghĩa : là đoạn thẳng xuất phát từ đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện trong tam giác
3.4 Ba đường cao của tam giác
Tính chất : ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm, điểm này gọi là trực tâm của tam giác
3.4 Ba đường cao của tam giác
Ví dụ : Giả sử H là giao điểm hai đường cao BC1 và CB1 của tam giác ABC thì :
Điểm H gọi là ...............
Điểm H có tính chất .......... ? ......................
4. Tam giác đều
Định nghĩa : là tam giác có ba cạnh bằng nhau
4. Tam giác đều
Tính chất :
Có ba góc bằng nhau
Có các đường cao, phân giác, trung tuyến, trung trực ứng với 1 cạnh hay 1 đỉnh trùng nhau
Có tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm trùng nhau
4. Tam giác đều
Dấu hiệu nhận biết :
Tam giác cân có 1 góc 600
Tam giác có ba cạnh bằng nhau
Ví dụ : Cho biết các tính chất của điểm O trên hình vẽ ?
Bài tập 1
Cho ? ABC có trung điểm các cạnh AB, BC, CA là D, E, F. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp ? ABC là trực tâm ? DEF ?
Hình vẽ :
giải
Từ giả thiết -> DE // AC
Mà HF ? AC -> HF ? DE
Tương tự HD ? EF ; HE ? DF
Suy ra H là trực tâm ? DEF
Bài tập 2
Cho tam giác đều ABC có cạnh a. Tính bán kính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến mỗi đỉnh và mỗi cạnh của tam giác đó ?
Hình vẽ :
giải
Tính AF ?
áp dụng Pitago vào ? vuông AFC ta có :


giải

Tính OA ?
Ta có :
giải

Tính OF ?
Tương tự :
chú ý :

OF là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC
OA là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC
Như vậy, nếu tam giác đều ABC có cạnh a thì bán kính các đường tròn nội (r) ngoại (R) tiếp lần lượt là :
Bài tập 3
Cho điểm C nằm giữa hai điểm A, B. Trên cùng một nửa mặt phẳng vẽ các tam giác đều ADC và BCE . Gọi I và K lần lượt là trung điểm của BD và AE. Chứng minh :
BD = AE
CI = CK
? ICK đều
Hình vẽ :
giải
AE = BD
Ta có :
? ACE = ? DCB (c.g.c)
? AE = BD
CI = CK
Ta có :
? CKE = ? CIB (c.g.c)
? CI = CK
? ICK đều
Ta có :
CI = CK
? KCI = 600
? ? ICK đều

Bài tập 4
Cho điểm C nằm giữa hai điểm A, B. Trên cùng một nửa mặt phẳng vẽ các tam giác đều ADC và BCE . Gọi I và K lần lượt là trung điểm của BD và AE. Chứng minh :
BD = AE
CI = CK
? ICK đều
Hình vẽ :
giải
AE = BD
Ta có :
? ACE = ? DCB (c.g.c)
? AE = BD
CI = CK
Ta có :
? CKE = ? CIB (c.g.c)
? CI = CK
? ICK đều
Ta có :
CI = CK
? KCI = 600
? ? ICK đều

Bài tập 5
Cho ? ABC có Â = 450 các đường cao AD và CK cắt nhau tại H ( D?BC, K ?AB ) . Chứng minh rằng AH = BC
Hình vẽ :
giải
AH = BC
Ta có :
BH ? AC ? ? AGB vuông cân tại G
? AG = BG ( cộng thêm ? A1 = ? B1 cùng phụ với ? C )
? ? BGC = ? AGH (cạnh huyền - góc nhọn )
? AH = BC
Bài tập 6
Cho ? ABC có trung điểm các cạnh AB, BC, CA là D, E, F. Chứng minh rằng trọng tâm ? ABC chia tam giác này thành 6 tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau ?
Hình vẽ :
giải
Trước tiên ta biết rằng nếu hai tam giác có cùng chiều cao thì đáy của tam giác này gấp đáy của tam giác kia bao nhiêu lần thì diện tích của nó cũng gấp bấy nhiêu lần.
Mặt khác : BG = 2GF và AF = FC -> đpcm
Bài tập về nhà
Bài 1
Chứng minh rằng trong ? vuông, cạnh đối diện với góc 300 bằng nửa cạnh huyền ?
Bài tập về nhà
Bài 2
Cho ? đều ABC, lấy E bất kỳ trên AB, kẻ ED vuông góc với BC tại D, DF vuông góc với AC tại F. Chứng minh :
a) ? DEF đều
b) EF vuông góc với AB
Bài tập về nhà
Bài 3
Cho ? ABC vuông tại A, đường cao AH, DE là trung điểm HC và HA. Chứng minh BE vuông góc với AD ?
Bài tập về nhà
Bài 4
Cho ? ABC có trung điểm các cạnh AB, BC, CA là D, E, F. Chứng minh rằng trọng tâm ? ABC và trọng tâm ? DEF trùng nhau ?