Những bài toán khó và hay ( có HD)

1. Cho hai số a và b khỏc 0 thỏa món : 1/a + 1/b = 1/2 Chứng minh phương trỡnh ẩn x sau luụn cú nghiệm :
(x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = 0.


(*)

, Để PT có nghiệm
(3)
(**)

Để PT có nghiệm thì
(4)
Cộng 3 với 4 ta có:


(luôn luôn đúng với mọi a, b)
2Cho phương trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= 0 (*)
a.Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm âm.
b.Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn
=50
Để phương trình có hai nghiệm âm thì:



b. Giải phương trình:



3. Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2Chứng minh:
a,Phương trình ct2 + bt + a =0 cũng có hai nghiệm dương phân biệt t1 và t2.
b,Chứng minh: x1 + x2 + t1 + t2
4
a. Vì x1 là nghiệm của phương trình: ax2 + bx + c = 0 nên ax12 + bx1 + c =0. .
Vì x1> 0 => c.
Chứng tỏ
là một nghiệm dương của phương trình: ct2 + bt + a = 0; t1 =
Vì x2 là nghiệm của phương trình: ax2+ bx + c = 0 => ax22 + bx2 + c =0
vì x2> 0 nên c.
điều này chứng tỏ
là một nghiệm dương của phương trình ct2 + bt + a = 0 ; t2 =

Vậy nếu phương trình: ax2 + bx + c =0 có hai nghiẹm dương phân biệt x1; x2 thì phương trình : ct2 + bt + a =0 cũng có hai nghiệm dương phân biệt t1 ; t2 . t1 =
; t2 =

b. Do x1; x1; t1; t2 đều là những nghiệm dương nên
t1+ x1 =
+ x1
2 t2 + x2 =
+ x2
2
Do đó x1 + x2 + t1 + t2
4
4. Giải hệ phơng trình :


ĐKXĐ :


Thay vào (1) => x = y = z = 3 .
Ta thấy x = y = z = 3 thõa mãn hệ phơng trình . Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất x = y = z = 3.
5. Cho
thỏa mãn :


Hãy tính giá trị của biểu thức : M =
+ (x8 - y8)(y9 + z9)(z10 - x10) .
Từ :
=>

=>



Ta có : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).= y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - .......... + z8)
z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5)
Vậy M =
+ (x + y) (y + z) (z + x).A =

6. 1) Giải phương trình: 2x4 - 11 x3 + 19x2 - 11 x + 2 = 0
2) Cho x + y = 1 (x > 0; y > 0) Tìm giá trị lớn nhất của A =
+

1)A = (n + 1)4 + n4 + 1 = (n2 + 2n + 1)2 - n2 + (n4 + n2 + 1)
= (n2 + 3n + 1)(n2 + n + 1) + (n2 + n + 1)(n2 - n + 1)
= (n2 + n + 1)(2n2 + 2n + 2) = 2(n2 + n + 1)2
Vậy A chia hết cho 1 số chính phương khác 1 với mọi số nguyên dương n.
2) Do A > 0 nên A lớn nhất
A2 lớn nhất.
Xét A2 = (
+
)2 = x