Ngoại khóa Toán 8 ( Chủ đề tự chọn)

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
I-Đặt vấn đề:
Phân tích đa thức thành nhân tử (PTĐTTNT) hay thành thừa số là phép biến đổi một đa thức cho trước thành tích của những đơn thức hoặc đa thức( nếu có thể được). ứng dụng của PTĐTTNT trong biến đổi rút gọn biểu thức, giải phương trình, tính giá trị biểu thức, tính nhẩm, chứng minh chia hết ... rất thuận lợi. Trong chương trình toán THCS, đặc biệt là chương trình Đại số lớp 8 đã có giới thiệu các phương pháp PTĐTTNT. Trong bài viết này nhằm nêu lại một số phương pháp PTĐTTNT thường dùng trong giải toán, phạm vi sử dụng có thể rộng hơn, có thể dùng cho ngoại khoá hoặc giảng dạy trong các chủ đề tự chọn Đại số 8, 9. Bài viết có sử dụng và công nhận các định lý mà không chứng minh, một số phương pháp có thể gây khó khăn cho học sinh do chưa được cung cấp kiến thức phù hợp, chưa liệt kê hết các phương pháp do hạn chế theo chương trình THCS. Tuy nhiên cũng chỉ là bài viết giới thiệu nên các dạng bài tập áp dụng có thể chưa đầy đủ, rất mong người đọc, các đồng chí, đồng nghiệp góp ý bổ sung để bài viết đạt kết quả cao hơn.
II-Một số phương pháp Phân tích đa thức thành nhân tử.
Các phương pháp PTĐTTNT từ 1 đến 4 đã được giới thiệu trong chương trình Đại số 8 nên chỉ giới thiệu qua và nêu ví dụ minh hoạ.
Từ phương pháp 5 đến phương pháp10 có hướng dẫn khái quát, chủ yếu sử dụng các ví dụ minh hoạ. Qua đó người đọc có thể rút ra được các bước thực hiện để bổ sung cho bài viết này.




1/ PTĐTTNT bằng phương pháp đặt nhân tử chung.
Tìm các thừa số( nhân tử) chung có mặt trong các hạng tử của đa thức đưa ra ngoài dấu ngoặc, kết quả thu được là tích của một đơn thức với một đa thức.
Ví dụ1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3ax2 + 6axy
3ax2 + 6axy = 3ax( x + 2y) nhân tử chung là 3ax
Ví dụ2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
36x2 ( a + b) + 12 xy (a + b )2
= 12x(a + b) (3x + y(a+b)
= 12x(a + b) (3x + ay + by)


2/ PTĐTTNT bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức:
áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ đã học, nhận xét một biểu thức có dạng hằng đẳng thức để đưa viết lại biểu thức ở dạng hằng đẳng thức.
7 hằng đẳng thức đáng nhớ:
1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
3. a2 - b2 = (a +b)(a - b)
4. (a + b)3 = a3 +3a2 b +3ab2 + b3
5. (a - b)3 = a3 - 3a2 b +3ab2 - b3
6. a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
7. a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

2.1. Nếu đa thức có 3 hạng tử, có dạng hằng đẳng thức(HĐT) cần chú ý HĐT 1, 2.
Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x2 + 4x + 1
4x2 + 4x + 1 = (2x)2 + 2. 2x .1 + 12 = (2x +1)2
2.2. Nếu đa thức có 2 hạng tử, chú ý HĐT thứ 3, 6, 7.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức: 1 + 125 x3y6 thành nhân tử
1 + 125 x3 y6 = ( 1 + 5xy2)(1 - 5xy2 + 25x2 y4) Sử dụng HĐT thứ 6
Ví dụ 2: Phân tích đa thức 4x2 - 25y2 thành nhân tử:
4x2 - 25y2 = (2x-5y)(2x +5y) sử dụng HĐT thứ 3
Ví dụ 3: Phân tích đa thức 8a3 b9 - 1 thành nhân tử
8a3 b9 - 1 = (2ab3 -1)(2a2 b6+ 2ab3 + 1) sử dụng HĐT thứ 7
2.3. Nếu đa thức có 4 hạng tử: chú ý để áp dụng HĐT thứ 4,5.
Ví dụ : Phân tích đa thức x3 - 27x2y + 9xy2 + 27 thành nhân tử
x3 - 27x2y + 9xy2 + 27 = ( x -3)3 sửdụng HĐT thứ 5
....


3/ PTĐTTNT bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử:
Tìm và nhóm các hạng tử có nhân tử chung để làm xuất hiện nhân tử chung mới ở các nhóm, sau đó sử dụng các phương pháp đã nêu trên.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : xy + 2x + 5y + 10
xy + 2x + 5y + 10 = (xy + 2x) + (5y + 10 )
= x( y + 2) + 5 (y + 2)
= (x + 5)(y + 2)
Hoặc: (xy + 5y) + (2x + 10) = y(x + 2) +2(x + 2)
= (x + 2)(y + 5)



4/ PTĐTTNT bằng cách phối hợp các phương pháp:
Phối hợp các phương pháp đã nêu trên gồm: đặt nhân tử chung, sử dụng HĐT, nhóm hạng tử.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x2 + 2x +1 - y2 -2y -1
x2 + 2x +1 - y2 -2y -1 = ( x2 + 2x +1) - (y2 + 2y +1) PP nhóm hạng tử
= (x + 1)2 - (y + 1)2
= (x + 1 + y +1)(x + 1 - y - 1) PP dùng HĐT
= (x - y)(x + y + 2)
5/ PTĐTTNT bằng cách tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử.
*Dạng đa thức bậc hai đủ: ax2 + bx + c (a khác 0)
Lưu ý trường hợp phương trình: ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm sẽ không phân tích được trong chương trình Toán THCS. Phần này chỉ áp dụng khi phương trình có nghiệm. Thực hiện những bước sau:
-Phân tích tích ac thành tích của các số thực.
-Chọn tích mà tổng của hai thừa số bằng b (giả sử b = b1+b2)
-Tách bx thành tổng hai số đã chọn nhân với x (bx = (b1+b2).x)
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x2 + 5x -2
Có a.c = 3 .(-2) = - 6 = -1.6 = 2 . (-3) = ....
ta thấy b = 5 = - 1 + 6
tách 5x = -x + 6x
Khi đó: 3x2 + 5x -2 = 3x2 - x + 6x -2
= (3x2- x) + (6x - 2)
= x(3x - 1) + 2(3x - 1)
= (x +2)(3x - 1).
Có thể tách bằng cách khác(mời người đọc tự làm)
5.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 - x - 6
tương tự tách -x = 2x - 3x
ta được: x2 - x - 6 = x2 + 2x - 3x - 6
= (x + 2x) - (3x + 6)
= x(x + 2) - 3(x + 2)
= (x-3)(x + 2)
Ví dụ 3:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 + 3xy + 2y2
x2 + 3xy + 2y2 = x2 + 2xy + xy + 2y2
= x(x + 2y) + y(x + 2y)
= (x + y)(x + 2y)
5.
Ngoài cách tách hạng tử bx như trên ta có thể tách các hạng tử khác thành nhiều hạng tử.
Ví dụ: phân tích x2 - 6x + 8 thành nhân tử, ta có thể làm như sau:
Cách 1: x2 - 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8
Cách 2: x2 - 6x + 8 = (x2 - 6x + 9) - 1
Cách 3: x2 - 6x + 8 = (x2 - 4) - 6x +12
Cách 4: x2 - 6x + 8 = (x2 - 16) - 6x + 24
Cách 5: x2 - 6x + 8 = (x2 - 4x + 4) - 2x +4
.... và bạn đọc có thể tìm thêm các cách khác nữa.

6/ PTĐTTNT bằng cách thêm, bớt các hạng tử.
-Thêm vào và bớt đi cùng một đơn thức hoặc đa thức vào một đa thức cho trước thì đa thức không thay đổi.
-Chú ý cần thêm bớt hạng tử để xuất hiện nhân tử chung hoặc có thể áp dụng các HĐT.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 4
x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2
= (x4 + 4x2 + 4) - 4x2
= (x2+2)2 - (2x)2
= ( x2+2+2x)( x2+ 2-2x)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 + 64
x4 + 64 = x4 + 16x2 + 64 -16x2
= ( x4 + 16x2 + 64) - 16x2
= (x2 + 8)2 - 16x2
= ( x2 + 4x+ 8)( x2 - 4x + 8)
6/ PTĐTTNT bằng cách thêm, bớt các hạng tử.
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x5 + x + 1
Cách 1: Thêm bớt x4, x3, x2
x5 + x + 1 = x5 + x4 + x3- x4 - x3- x2 + x2 + x + 1
= x3 (x2 + x +1) - x2(x2 + x +1) +( x2 + x +1)
= ( x2 + x +1)(x3-x2 +1)
Cách 2: Thêm bớt hạng tử x2 để làm xuất hiện bình phương thiếu của tổng, sau đó dùng hằng đẳng thức, đặtnhân tử chung.
x5 + x + 1 = x5 - x2 + x2 + x + 1
= x2(x3- 1) +( x2 + x +1)
= x2(x -1)( x2 + x +1) +( x2 + x +1)
= (x2 + x +1)( x3-x2 +1)
7/ PTĐTTNT bằng phương pháp đổi biến số
Nếu đa thức có các hạng tử được viết theo thứ tự bậc, biến giống nhau ta đổi sang biến mới để dễ dàng phân tích thành nhân tử sau đó quay trở lại biến cũ đã đặt.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
(x2 + x)2 + 4(x2 + x) -12
Đặt t = x2 + x
Thì (x2 + x)2 + 4(x2 + x) -12 = t2 + 4t -12
= t2 - 2t +6t -12
= t(t - 2) + 6(t-2)
=(t - 2)(t + 6)
Trở lại biến cũ đã đặt:
(x2 + x)2 + 4(x2 + x) -12 = (x2 + x - 2)( x2 + x+6) tiếp tục phân tích ta được
= (x+2)(x-1)( x2 + x+6)
8/ PT§TTNT b»ng ph­¬ng ph¸p dïng ®Þnh lý nghiÖm cña ®a thøc.
Ta thõa nhËn ®Þnh lý sau, kh«ng chøng minh:
§a thøc f(x) cã nghiÖm x = a th× f(x) chia hÕt cho (x-a)
hay f(x) = (x-a).g(x)
Qu¸ tr×nh ph©n tÝch tiÕp tôc cho ®Õn khi kh«ng thÓ ph©n tÝch hoÆc ®Õn ®a thøc bËc nhÊt.
VÝ dô 1: Cho f(x) = 3x2 + 5x - 2, ph©n tÝch f(x) thµnh nh©n tö
Víi x = -2 ta cã f(-2) = 3.(-2)2 +5.(-2) - 2 = 0
VËy x =- 2 lµ nghiÖm cña f(x)
Sö dông chia f(x) cho x + 2 ta ®­îc:
3x2 + 5x - 2 x + 2
3x2 +6x 3x - 1
- x - 2
-x - 2
0
VËy: 3x2 + 5x - 2 = (x +2)(3x - 1)
Để thuận tiện cho nhẩm nghiệm của đa thức và thực hiện phép chia đa thức cồng kềnh, cho phép sử dụng lược đồ Hoocne như sau:





Trong đó: an, an-1, ...,a2, a1, a0 là hệ số bậc từ cao đến thấp của Pn(x)
bn, bn-1, ...,b2, b1, b0 là hệ số bậc từ cao đến thấp của Qn-1(x)
Nếu r = 0 thì x = m là nghiệm của Pn(x); quá trình liên tục cho đến khi không thể nhẩm nghiệm được nữa.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 + x2 - 2
Sử dụng lược đồ Hoocne ta nhẩm nghiệm như sau:
1 0 1 0 -2
x1 = 1 1 1 2 2 0
x2 = -1 1 0 2 0
Khi đó: x4 + x2 - 2 = (x - 1)(x + 1)(x2 + 2)
*Có thể phân tích bằng cách đặt ẩn phụ như sau: đặt x2 = X
X2 + X - 2 = (X- 1)(X + 2) dùng PP tách X = -X +2X
Quay lại biến cũ: x4 + x2 - 2 =(x - 1)(x + 1)(x2 + 2).
9/ PTĐTTNT bằng phương pháp dùng hệ số bất định.
Đa thức f(x) = g(x) nếu các hệ số của các hạng tử cùng bậc, cùng loại biến của hai đa thức bằng nhau.
ax + b = a`x +b` a = a`, b = b`
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
f(x) = x4 + 6x3 +11x2 + 6x + 1
Ta thấy bậc của f(x) là bậc 4, hệ số cao nhất là 1, hệ số tự do bằng 1 nên có thể phân tích f(x) thành tích của 2 đa thức bậc 2 như sau:
f(x) = (x2 + ax + 1)(x2 + bx + 1)
= x4 + (a + b)x3 +( ab + 2) x2 +(a + b) x + 1
Đồng nhất các hệ số của hai đa thức ta được hệ phương trình:
a + b = 6
ab + 2 = 11
giải ra ta có a = b = 3
Vậy: x4 + 6x3 +11x2 + 6x + 1 = (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x + 1)
= (x2 + 3x + 1)2
10/ PTĐTTNT bằng phương pháp dùng giá trị riêng
Khi các biến có vai trò như nhau ta có thể thay đổi vai trò của chúng. Thế biến này vào biến kia rồi tính giá trị của biểu thức, sau đó sử dụng phương pháp định lý nghiệm.
Ví dụ1: A = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a) Phân tích A thành nhân tử
Thay a = b ta có:
A = 0 + bc(b - c) + cb (c - b) = 0 nên A (a - b)
Ta thấy vai trò của a, b, c như nhau và tương tự như trên ta có:
A (b - c), A (c - a)
Do A có bậc 3 đối với tập hợp các biến và (a - b)( b - c)( c - a) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến nên:
A = k(a - b)( b - c)( c - a)
Từ: ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a) = k(a - b)( b - c)( c - a)
cho a = 2, b = 1 , c = 0 ( có thể chọn tuỳ ý)
ta được : 2.1.1 + 0 + 0 = k . 1 . 1 .(-2) k = - 1
Hay: A = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a) = -(a - b)( b - c)( c - a)
= (a - b)( b - c)( a - c)
Ví dụ 2: B = a( b2 - c2) + b( c2 - a2) + c( a2 - b2), phân tích B thành nhân tử
Thay a = b ta có: B = 0
Suy ra B (a - b), tương tự ta có B (b - c), B (c - a)
Hay B (a - b)( b - c)( c - a)
Do bậc của B đối với tập hợp các biến bằng bạc của (a - b)( b - c)( c - a) đối với tập hợp các biến nên:
B = a( b2 - c2) + b( c2 - a2) + c( a2 - b2)
= k(a - b)( b - c)( c - a)
Cho a = 0, b = 1, c = 2 thay vào trên ta được k = 1.
Vậy: B = a( b2 - c2) + b( c2 - a2) + c( a2 - b2)
= (a - b)( b - c)( c - a)
III- Một số bài tập áp dụng:
Trên đây đã giới thiệu một số phương pháp PTĐTTNT. Dưới đây là một số ví dụ áp dụng.
1.Tính nhẩm: 2,007 .157 +689.2,007 + 154.2,007 = ?
(=2007)
2.Chứng minh: n3 - n chia hết cho 6
Đây là dạng bài tập quen thuộc, nhưng trước hết ta phải phân tích n3 - n thành nhân tử:
n3 - n = (n - 1) n (n + 1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp
Trong đó có ít nhất một số chẵn nên n3 - nchia hết cho2, có một chia hết cho 3 nên n3 - n chia hết cho 6.
3.Tìm a để: (x2 + ax + 8) chia hết cho (x + 8)
Bài này có hai cách giải:
C1: (x2 + ax + 8) (x + 8) nên x = - 8 là nghiệm của (x2 + ax + 8)
thay x = -8 ta được: (-8)2 - 8a + 8 = 0 suy ra a = 9
C2:Vì (x2 + ax + 8) có bậc 2 nên khi chia hết cho x + 8 ta được thương là một đa thức bậc nhất.
Giả sử thương là cx + d.
Khi đó: (x2 + ax + 8) = (x + 8)(cx + d)
= cx2 + (8c + d)x + 8d
Đồng nhất các hệ số tương ứng ở hai vế ta được:
c =1, d = 1, a = 9
4.Giải phương trình: x3 - 6x2 - x + 30 = 0
Biến đổi vế trái ta có: x3 - 6x2 - x + 30 = (x3 - 8x2 +15 x) + (2x2 - 16x + 30)
=x(x2 - 8x +15 ) + 2(x2 - 8x +15)
=( x + 2)( x2 - 8x +15)
=(x + 2)(x - 3)( x- 5) = 0
cho ta nghiệm của phương trình là: x1 = -2, x2 = 3, x3 = 5. Như vậy ta đã sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải phương trình.

Trên đây là một số cách và ví dụ về các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.. Trong phạm vi giới thiệu lại, hệ thống lại kiến thức đã học để nêu lại các cách PTĐTTNT, việc trình bày và các ví dụ chưa thật phong phú, các ứng dụng chưa được nêu đầy đủ, người viết rất mong được sự góp ý của các đồng chí, đồng nghiệp trong cách trình bày, lý luận để bài viết có thể được sử dụng tốt hơn.
Xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp!

Xin chào và hẹn gặp Lại