Mot so BDT va ung dung cua no

A/ một số bất đẳng thức hay dùng
1) Các bất đẳng thức phụ:
a)

b)
dấu( = ) khi x = y = 0
c)

d)

2)Bất đẳng thức Cô sy:
Với

3)Bất đẳng thức Bunhiacopski

4) Bất đẳng thức Trê- bư-sép:
Nếu
Nếu
Dấu bằng xảy ra khi
b/ các ví dụ
ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng

(a+b)(b+c)(c+a8abc
Giải:
Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ:

Tacó ;

a+b)(b+c)(c+a8abc
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
ví dụ 2(tự giải1)Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR: (403-1001)
2)Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 CMR:x+2y+z
3)Cho a>0 , b>0, c>0
CMR:
4)Cho xythỏa mãn ;CMR: x+y
ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và chứng minh rằng

Do a,b,c đối xứng ,giả sử abc
áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có

Vậy Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
ví dụ 4:
Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :

Giải:
Ta có

Do abcd =1 nên cd (dùng
Ta có (1)
Mặt khác:
=(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)

Vậy
ví dụ 5: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:

Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
tacó ac+bd
mà


ví dụ 6: Chứng minh rằng

Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có

3
Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Phương pháp 4: Sử dụng tính chất bắc cầu

Lưu ý: A>B và b>c thì A>c
0< x <1 thì x
ví dụ 1:
Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d
Chứng minh rằng ab >ad+bc
Giải:
Tacó




(a-c)(b-d) > cd

ab-ad-bc+cd >cd

ab> ad+bc (điều phải chứng minh)
ví dụ 2:
Cho a,b,c>0 thỏa mãn
Chứng minh

Giải:
Ta có :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) 0

ac+bc-ab a2+b2+c2)

ac+bc-ab 1 Chia hai vế cho abc > 0 ta có
ví dụ 3
Cho 0 < a,b,c,d <1 chứng minh rằng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d)> 1-a-b-c-d
Giải:
Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab
Do a>0 , b>0 nên ab>0

(1-a).(1-b) > 1-a