HUONG DAN ON HSG TOAN 8

Tiết 13+14+15
Bài17: Chứng minh rằng:
(9n + 63)
8 Với
n
N
Giải
Ta có: 9n + 63 = 9n -1+ 64
Do 64
8 Vậy ta cần chứng minh: (9n -1)
8
Ta có: 9n -1 = (9-1)M = 8M (M
N)
Mà 8M
8 Vậy (9n -1)
8
Do vậy (9n + 63)
8 (đpcm).

Bài 18: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
x2-4xy+5y2=16
Giải: Ta có: x2-4xy+5y2=16
x2-4xy+4y2+y2 = 16

(x-2y)2+y2 = 16
Vì x, y
Z nên (x-2y)
Z
Tổng hai bình phương của hai số nguyên bằng 16 thì chỉ có 2 khả năng xảy ra
a)
(x-2y)2=0
x=8; y=4
y2=16 x=-8; y=-4

b) y2=0 x=4; y=0
(x-2y)2=16
x=-4; y=0

Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên:
(4;0); (-4;0); (8;4); (-8;-4)
Bài 19: Cho hình vuông ABCD, trên DC lấy một điểm M bất kì, nối A với M. Kẻ phân giác của góc BAM cắt BC tại P. Phân giác của góc DAM cắt DC tại Q. Chứng minh PQ
AM.
Giải
Kẻ QK
AM, PK`
AM
Xét hai tam giác vuông: ADQ và AKQ có
AQ - cạnh chung
QD=QK (Do Q nằm trên phân giác
DAM)
Do đó
ADQ=
AKQ
Suy ra AD=AK (1)
Tương tự ta có AB=AK` (2)
Từ (1) và (2) suy ra AK=AK`
Hay K
K`
Vậy PQ
AM (đpcm).

Bài 20: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt nhau tại G.
a) Chứng minh rằng GH đi qua trung điểm của BC.
b)
ABC ~

AEF
c)
BDF =
CDE
d) H cách đều các cạnh của tam giác DEF

Giải
a)BG
AB, CH
AB, nên BG // CH
Tương tự BH
AC, CG
AC
nên BH//CG
Tứ giác BGCH có các cặp cạnh đối song
song nên nó là hình bình hành.
Do đó hai đường chéo cắt nhau tại trung
điểm của mỗi đường.Vậy GH đi qua trung điểm
M của BC.
b) Do BE và CF là các đường cao của tam giác ABC
nên các tam giác ABE và ACF vuông.
Hai tam giác vuông ABE và ACF có chung góc A nên chúng đồng dạng
Suy ra


(1)
Hai tam giác ABC và AEF có góc A chung (2)
Từ (1) và (2) suy ra
ABC ~

AEF.
c) Chứng minh tương tự ta được:
BDF ~

BAC,
EDC ~

BAC, suy ra

BDF ~

EDC

BDF =
CDE
d) Ta có
BDF =
CDE
900 -
BDF = 900 -
CDE
900 -
BDF = 900-
CDE

ADB -
BDF =
ADC -
CDE

ADF =
ADE
Suy ra: DH là tia phân giác góc EDF. Chứng minh tương tự ta có FH là tia phân giác góc EFD. Suy ra H là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF. Vậy H cách đều ba cạnh của tam giác DEF.
Bài 21: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=

Giải

Ta có: A=
=
=
=

Mà x2 +1
1 Với mọi x suy ra:


Dấu ``=`` xảy ra
x = 0
Vậy giá trị lớn nhất của A là 3 khi x = 0

Bài 22: Cho hình thang ABCD đáy nhỏ BC. Từ trung điểm I của CD, kẻ đường thẳng d//AB, AH
d , BE
d. Chứng minh SABEH = SABCD .

Giải
Gọi J, K lần lượt là giao điểm của đường
thẳng d với BC, AD ta có:

(c.g.c)
SIKD=SCJI

SABCD = SABJK (1)
Và

SEBJ = SHAK
SABEH