HSG toán 9 2010-2011 vòng 2

javascript:document.body.contentEditable=`true`; document.designMode=`on`; void 0

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DIỄN CHÂU

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 VÒNG II
NĂM HỌC: 2010-2011
Môn Toán 9- (Thời gian làm bài:120 phút)



Bài 1: (4 điểm)
Chứng minh:
là một số nguyên.
Rút gọn biểu thức:
A=
với x

Bài 2: (4 điểm)
Cho đường thẳng (d): y = 2x + 3
Tìm trên đường thẳng (d) những điểm có tọa độ thỏa mãn đẳng thức :
x2+ y2- 2xy – 4 = 0
Cho hàm số: y = ax + b
Biết
Tính
Bài 3: (5 điểm)
Cho x;y > 0 và x + y = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của

Giải hệ phương trình:

Bài 4: (5 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB; M là một điểm di dộng trên đường
tròn ( M khác A và B). Dựng đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ các tiếp tuyến BD và AC đến đường tròn tâm M.
Xác định vị trí tương đối của đường thẳng CD và đường tròn tâm O.
Tìm vị trí của M trên (O) để AC.BD đạt giá trị lớn nhất.
Lấy N là điểm cố định trên đường tròn (O); Gọi I là trung điểm MN; P là
hình chiếu của I trên MB; Khi M di chuyển trên (O) thì P chạy trên đường nào?
Bài 5: (2 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AC. Trên đường tròn lấy điểm B (B khác A và C). Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho AD = 3AB. Đường thẳng vuông góc với DC tại D cắt tiếp tuyến Ax của (O) tại E.
Chứng minh tam giác BED cân.




HƯỚNG DẪN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 VÒNG II
( dưới đây là hướng dẫn sơ lược cách giải đề thi, chưa được kiểm chứng
– không phải hướng dẫn chấm )
Bài 1: (4 điểm)
1.Chứng minh:
là một số nguyên.
2.Rút gọn biểu thức:
A=
với x

Hướng dẫn:
1.
Do 3 là số nguyên nên ta có đpcm.
2.A=


.
Bài 2: (4 điểm)
1.Cho đường thẳng (d): y = 2x + 3
Tìm trên đường thẳng (d) những điểm có tọa độ thỏa mãn đẳng thức :
x2+ y2- 2xy – 4 = 0
2.Cho hàm số: y = ax + b
Biết
Tính
Hướng dẫn:
Ta giải hệ phương trình:
.
Thế
vào phương trình thứ hai ta được
Vậy ta có các điểm cần tìm là (-1;1) và (-5;-7).
Từ điều kiện
ta thấy
vừa nghịch biến vừa đồng biến do đó a = 0 và
=b mà suy ra b = 1000.
Do đó b = 1000.
Bài 3: (5 điểm)
1.Cho x;y > 0 và x + y = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của

2.Giải hệ phương trình:

Hướng dẫn: 1.Áp dụng BĐT Cauchy ta có
, suy ra Đẳng thức xảy ra khi x = y = 0,5.
Ta có
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 0,5.
2.

Cộng theo vế 2 phương trình trên ta được

Thế vào phương trình đầu tiên và giải, ta được các nghiệm là


Bài 4: (5 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB; M là một điểm di dộng trên đường
tròn ( M khác A và B). Dựng đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ các tiếp tuyến BD và AC đến đường tròn tâm M.
a)Xác định vị trí tương đối của đường thẳng CD và đường tròn tâm O.
b)Tìm vị trí của M trên (O) để AC.BD đạt giá trị lớn nhất.
c)Lấy N là điểm cố định trên đường tròn (O); Gọi I là trung điểm MN; P là
hình chiếu của I trên MB; Khi M di chuyển trên (O) thì P chạy trên đường nào?
Hướng dẫn:








Q










Đầu tiên ta chứng minh ba điểm C,M,D thẳng hàng ( tự chứng minh).