HSG TOAN 8 VINH BAO 2017-2018

UBND HUYỆN VĨNH BẢO
ĐỀ GIAO LƯU HSG HUYỆN CẤP THCS

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
MÔN TOÁN 8

(Đề có 1 trang)
Thời gian làm bài 150 phút


Bài 1. (3 điểm)
a)Phân tích đa thức
thành nhân tử.
b)Cho a;b;c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn:
.
Tính giá trị của biểu thức: P=
.
c)Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2).
Bài 2. (2 điểm)
a) Tìm số tự nhiên
để
và
là hai số chính phương.
b) Cho a, b > 0 thỏa mãn
. Chứng minh
.
Bài 3. (1 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có góc ABC nhọn. Vẽ ra phía ngoài hình bình hành các tam giác đều BCE và DCF. Tính số đo góc EAF.
Bài 4. (3 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA’, BB’, CC’ và H là trực tâm
a) Chứng minh BC’.BA + CB’.CA=BC2
b) Chứng minh rằng

c) Gọi D là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với DH cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh H là trung điểm của MN.
Bài 5. (1 điểm)
Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng cùng có tính chất chia hình vuông này thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng
. Chứng minh rằng có ít nhất 505 đường thẳng trong 2018 đường thẳng trên đồng quy.
-----Hết -----
Giám thị số 1 Giám thị số 2
............................................ ............................................
UBND HUYỆN VĨNH BẢO
GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP THCS

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN 8

(Đề có 1 trang)



Bài 1
Lời giải sơ lược
Điểm chi tiết
Cộng

Bài 1
( 3 điểm)
a)
=

=

=
=

=
=

0,25

0,25

0,25
0,25
1,0


b) (a+b+c)2=



Tương tự:
;



0,25


0,25




0,25

0,25
1,0


c) Vì x + y + z = 0 nên x + y = –z ( (x + y)3 = –z3
Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3( 3xyz = x3 + y3 + z3
Do đó : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2)
= x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2)
Mà x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (vì x + y = –z).
Tương tự:y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx.
Vì vậy : 3xyz(x2 + y2 + z2)
= x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2)
Suy ra : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2
0,25

0,25



0,25

0,25
1,0

Bài 3
a) Để
và
là hai số chính phương

và


Nhưng 59 là số nguyên tố, nên:

Từ
suy ra

Thay vào
, ta được
.
Vậy với
thì
và
là hai số chính phương.

0,25

0,25

0,25


0,25
1,0


b) Có:
(*)
(Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b)
Áp dụng (*), có:



Suy ra:




( Vì a+b = 1)
Với a, b dương, chứng minh
(Vì a+b = 1)
(Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b)
Ta được:


Dấu đẳng thức xảy ra:

0,25












0,25


0,25




0,25
1,0

Bài 3
/