HSG Toán 8

UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
------------------------------

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI - 1



MÔN TOÁN 8
Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao đề )

A. ĐỀ BÀI
Bài 1. ( 2 điểm ):
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
x3(x2 - 7 )2 - 36x
b) Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh:
A= n3(n2 - 7 )2 - 36n chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n.

Bài 2. ( 2 điểm ):
Cho biểu thức A =
với x khác -1 và 1.
a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tính giá trị của biểu thức A tại x
.
c, Tìm giá trị của x để A < 0.
Bài 3. ( 1,0 điểm ) Cho ba số a, b, c thỏa mãn abc = 2004.
Tính : M =
.
Bài 4. (4 điểm ) : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB , BC. Gọi P giao điểm của AN với DM.
Chứng minh : tam giác APM là tam giác vuông.
Tính diện tích của tam giác APM
Chứng minh tam giác CPD là tam giác cân.
Bài 5. ( 1 điểm ): Tìm các giá trị x, y nguyên dương sao cho : x2 = y2 + 2y + 13.

----------------------------- HẾT ----------------------------


UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
-------------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN
HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8



Bài
Đáp án
Điểm


1

a) x3(x2 - 7 )2 - 36x = x[( x3 - 7x)2 - 36]
= x(x3 - 7x - 6)( x3 - 7x + 6 ) = x(x3 - x - 6x - 6)( x3 - x - 6x + 6 )
= x[x(x - 1 )( x + 1) - 6( x+ 1)][ x(x - 1 )( x + 1) - 6( x- 1)]
= x(x + 1 )(x2 - x - 6)(x - 1 )( x2 + x - 6 )
= x(x + 1 )(x2 - 3x + 2x - 6)(x - 1 )( x2 +3x - 2x - 6 )
= x(x + 1 )(x2 - 3x + 2x - 6)(x - 1 )( x2 + 3x - 2x - 6 )
= x(x + 1 )( x - 1 )[(x(x - 3 ) + 2( x - 3 )][(x(x + 3 ) - 2( x + 3 )]
= x(x + 1 )( x - 1 ) (x - 3 )(x + 2 ) ( x - 2 )( x + 3 )

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25


b) Theo phần a ta có :
A = n3(n2 - 7 )2 - 36n
= n(n + 1 )( n - 1 ) (n - 3 )(n + 2 ) ( n - 2 )( n + 3 )
Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp . Trong 7 số nguyên liên tiếp có :
- Một bội của 2 nên A chia hết cho 2.
- Một bội của 3nên A chia hết cho 3.
- Một bội của 5 nên A chia hết cho 5.
- Một bội của 7 nên A chia hết cho 7.
Mà 2; 3; 5; 7 đôi một nguyên tố cùng nhau nên: A
( 2.3.5.7 )
Hay A
210.

0,25






0,25



2

a) Với x khác -1 và 1 thì :
A=
=

=
=



0,25



0,25


b) Tại x =
=
thì Acó giá trị là

=


0,25


0,25


c) Với x khác -1 và 1 thì A< 0 khi và chỉ khi
(1)
Vì
với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi


KL
0,25

0,25




3

Thay 2004 = abc vào M ta có :


0,25

0,25
0,25

0,25







4

Vẽ hình đúng cho phần a










0,25


a) Chứng minh ∆