HSG Toán 8

UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO


ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI - 4


MÔN THI: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (1,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử
a) (x – 3y)2 – 3(x – 3y)
x2 – 12x + 35
x3 + 2x2 + 2x + 1
Bài 2: (1,5điểm) Thực hiện phép tính
(2n3 – 5n2 +1) : (2n – 1)


(1- 3x)2 + 2(3x – 1)(3x +4) + (3x +4)2
Bài 3:( 2,0 điểm)
a) Cho a là một số tự nhiên và a > 1. Chứng minh rằng:
A = (a2 + a + 1)(a2 + a + 2) – 12 là hợp số
b) Tính B =

c) Tìm dư khi chia x + x3 + x9 + x27 cho x2 – 1
Bài 4: (2,0 điểm)
Cho abc = 1. Rút gọn biểu thức: M =

Cho a +b +c
0 và a3 + b3 + c3 = 3abc. Tính N =

Bài 5: (3,0 điểm)
Cho hình thang ABCD có
= 900, CD = 2AD = 2AB. Gọi H là hình chiếu của D lên AC; M, N, P lần lượt là trung điểm của CD, HC và HD.
Chứng minh tứ giác ABMD là hình vuông và tam giác BCD là tam giác vuông cân.
Chứng minh tứ giác DMPQ là hình bình hành
Chứng minh AQ vuông góc với DP
Chứng minh


------------------H -----------------------




UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO



HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8



Bài
Đáp án
Điểm

Bài 1
(1,5 đ)
a) = (x – 3y)(x – 3y – 3)
0,5


b) = x2 – 5x – 7x + 35 = x(x – 5) – 7(x – 5)
= (x – 5)(x – 7)
0,25
0,25


c) = x3 + 1 + 2x2 +2x = (x + 1)(x2 – x + 1) + 2(x +1)
= (x + 1)(x2 – x + 3)
0,25
0,25

Bài 2
(1,5 đ)
a) Thực hiện phép chi theo cột dọc đúng
Kết quả (2n3 – 5n2 + 1) : (2n – 1) = n2 – 2n -1
0,25
0,25


b)
0,1


0,2


0,2


c) = (1- 3x + 3x + 4)2 = 52 = 25
0,5

Bài 3
(2,0 đ)
a) Đặt x = a2 +a +1
a2 +a +2 = x +1
A = x(x + 1) – 12 = x2 + x – 12 = (x +4)(x – 3)
Thay x = a2 +a +1 vào A ta có: A = (a2 +a +5) (a2 +a – 2)
Vì a
N và a > 1 nên a là số tự nhiên. Ngoài ước là
1 và chính A, nó còn có thêm 2 ước là (a2 +a +5) và (a2 +a – 2)
Do đó A là hợp số


0,25

0,25




0,75


Vì đa thức x2 – 1 có bậc là 2, nên đa thức dư có dạng
r(x) = ax + b.
Gọi thương của phép chia trên là q(x), ta có:
x + x3 + x9 + x27 = (x – 1)(x + 1).q(x) + ax + b (1)
Đẳng thức (1) đúng với mọi x, với x = 1 ta có : a + b = 4 (2)
với x = 2 ta có : - a + b = -4 (3)
Từ (2) và (3)
b = 0 và a = - 4
Vậy dư của phép chia x + x3 + x9 + x27 cho x2 – 1 là: – 4x



0,25

0,25

0,25

Bài 4
(2,0 đ)
a) Thay abc =