HSG Toán 8

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI : TOÁN 8 - 5
Thời gian: 90’

I. Đề bài:
Bài tập 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
x2 - (a+b) xy + aby2
a2- b2 – 2a + 1
a3 – 19a + 30
Bài tập 2:
a) Tìm a,b,c sao cho đa thức x4 + a x2 + bx + c chia hết cho đa thức ( x-3)3
b) cho a + b + c = 2012
Chứng minh rằng :
= 2012
Bài tập3:
a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào giả trị của biến
P =

b) Cho Q =

Chứng minh rằng Q là số nguyên; biết rằng xyz = 1
Bài tập 4: Cho hình vuông ABCD.Lấy điểm M tuỳ ý trên BD.Từ M kẻ ME
AB; MF
AD.Chứng minh
a) CF = DE; CF
DE
b) CM = FE ; CM
FE
c) CM,BF,DE đồng qui.

III.Đáp án:
Bài tập
Đáp án
 điểm

Bài 1 (2,5điểm)
a) = x2 – a xy – bxy – aby2 = x(x-by) – ay( x-by)
= ( x- ay)(x – by)
b) = (a2 – 2a + 1) – b2
= ( a – 1)2 – b2
= ( a -1- b)( a – 1 + b)
c)= a3-4a -15a -30
= a(a2-4)-(15a-30)
= a(a-2)(a+2)-15(a-2)
= (a-2) (a2-2a-15)
= (a-2)( a2+3a-5a-15a)
= (a-2)(a+3)(a-5)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,25đ

Bài 2
(1,5điểm)
a) = x4+a x2+bx+c=(x-3)3(x+d)
= (x3-9x2+27x-27)(x+d)
= x4+(d-9)x2+(27-9d)x2+(27d-27)x-27d
cân bằng hệ số ta có
d-9=0
d=9
-27d = c
c=-243
27d-27=b
b=216
27-9d=a
a=-54
Vậy a=-54;b=216;c=-243;d=9 thì x4+a x2+bx+c chia hết cho (x-3)3
b)Ta có a3+b3=(a+b)3-3a2b-3ab2

a3+b3+c3-3abc = (a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc
= (a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
= (a+b+c)(a2+b2+c2+2ab –ac-bc)-3ab(a+b+c)
= (a+b+c)( a2+b2+c2-ab –ac-bc)
Vậy

=

= a+b+c = 2013



025đ


0,5đ


0,25đ





0,5đ


0,25đ

Bài 3 (2điểm)
 a) P=

b) Q =

= 2013(
)
= 2013(
) = 2013
0,75đ


0,25đ


0,5đ


0,5đ

Bài 4
(4 điểm)


a) AEMF là hình chữ nhật
AF=EM

EBM cân tại E vì
= 450
EB =EM

AF= EB mà AB = AD
AE=FD


ADE =
DCF (c,g,c)
FC=DE và
=

mà
+
=900

+
=900


=900
CF
DE
b)
MEF =
GMC(c.g.c)
CM = FE và
=

ta lại có
=
(so le trong)
mà
+

+
=900

+
+
=900


=900
CM
FE
c)Xét
EFC có EI,CK là đường cao nên FB là đường cao thứ 3 n ên CM,BF,DE đồng qui.

0,5 đ