HSG Toán 8

UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI-8



MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2,5 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử:

b) Tìm các số nguyên
sao cho:
.
c) Tìm các hằng số a và b sao cho
chia cho
dư 7;
chia cho
dư 4.
Câu 2: (1,5 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức:
A=
với

b) Tìm
để B có giá trị nhỏ nhất:

với x>0
Câu 3: (2 điểm)
Chứng minh rằng:
a)

b) Nếu
là các số tự nhiên thỏa mãn :
thì :
m-n và
đều là số chính phương.
Câu 4: (4 điểm)
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình thang ABCD (AB//CD). Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh OM=ON.
b) Chứng minh
.
c) Biết
Tính
 ?
d) Nếu
. Chứng minh BD > AC.
-----------HẾT-------------
UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8



Câu
Đáp án
Điểm

1

a/
=

0,5


=

0,25


b/

. Do
là các số nguyên nên ta có:
TH1:
(thỏa mãn) hoặc
(thỏa mãn)
0,25

0,25


TH2:
(thỏa mãn) hoặc
(thỏa mãn)
0,5


c/ Vì
chia cho
dư 7 nên ta có:
=

do đó với
thì -1-a+b=7, tức là a-b = -8 (1).
0,25


Vì
chia cho
dư 4 nên ta có:
=

do đó với
thì 8+2a+b=4, tức là 2a+b=-4 (2).
0,25


Từ (1) và (2) suy ra a=-4;b=4.
0,25

2
a/ Ta có:
với mọi
nên ta có:
0,25


A=
=


0,25


Thay
vào A ta có: A=

0,25


b/ B=
=

0,25


=
.
0,25


Dấu “=” xảy ra khi
.
0,25


Vậy GTNN của B là
đạt được khi
.


3

a/ Đặt a=2011; b=11; c=2000. Khi đó ta có a=b+c.



 Xét vế phải đẳng thức ta có:

0,25


Thay a=b+c vào

0,25




0,25


Nên
.
0,25


Vậy:




b/Ta có

(*)
0,5


Gọi d là ƯCLN(m-n;5m+5n+1)
(5m+5n+1)+5m-5n
d
10m+1
d
Mặt khác từ (*) ta có:

d2
m
d. Mà 10m+1
d nên 1
d
d=1
0,25


Vậy m-n;5m+5n+1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau,
thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương.
0,25







4




 hình vẽ
0,25


a/ Ta có
Do MN//DC



OM=ON.
0,5

0,5


b/ Do MN//AB và CD

và
. Do đó:

(1)
0,25


Tương tự:
(2)
0,25


Từ (1);(2)


0,25





0,25


c/ Hai tam giác có cùng đường cao thì tỉ số diện tích 2 tam giác bằng tỉ số giữa 2 cạnh đáy tương ứng. Do vậy :
và

0,25


Nhưng




nên