HSG Toán 8

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HOÁ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: 21/04/2014
Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)

 (Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang)

Câu 1(4,0 điểm): Cho biểu thức P =

Rút gọn P.
Tìm x
Z để P có giá trị nguyên.
Tìm x để P
1.

Câu 2(4,5 điểm):
Giải phương trình: x3 – 6x2 – x + 30 = 0
Giải bất phương trình sau:

Cho biết

. Hãy tính giá trị của biểu thức: Q =



Câu 3(5,0 điểm):
Tìm x, y thỏa mãn đẳng thức: 5x2 + 5y2 + 8xy + 2y – 2x +2 = 0
Cho a, b, c
Z, thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh a5 + b5 + c5
30
Chứng minh rằng:
, trong đó a, b, c là các số thực không nhỏ hơn 1.

Câu 4(4,5 điểm): Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC
BH.BE + CH.CF = BC2


Gọi I, K, Q, R lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ E xuống AB, AD, CF, BC. Chứng minh bốn điểm I, K, Q, R cùng nằm trên một đường thẳng.

Câu 5(2,0 điểm): Cho tam giác ABC. Trên tia đối của các tia BA, CA lấy theo thứ tự các điểm D, E sao cho BD = CE = BC. Gọi O là giao điểm của BE và CD. Qua O vẽ đường thằng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K.
Chứng minh: AB = CK.

.............. Hết.............
Họ và tên thí sinh::........................................... SBD........................................
Giám thị 1:.................................................... Giám thị 2:..............................
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
HUYỆN HOẰNG HÓA Năm học: 2013-2014
MÔN THI: TOÁN

Câu
Hướng dẫn
Điểm

Câu 1
(4đ)
a) ĐKXĐ:

Ta có



Vậy:

0,25

0,75

0,75

0,25


b) Ta có


Ư(2)=
.
Từ đó suy ra x

Kết hợp với ĐKXĐ được x

0,25

0,25
0,25

0,25


c)

Mà x – 1 < x + 1 nên x – 1 < 0 và x + 1
0
và

Kết hợp với ĐKXĐ được
và

0,25

0,5
0,25

Câu 2
(4,5đ)
a) Ta có x3 – 6x2 – x + 30 = 0
(x – 3)(x + 2)(x – 5) = 0

x-3=0 hoặc x+2=0 hoặc x-5=0

x=3 hoặc x= -2 hoặc x=5
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-2; 3; 5}
0,75

0,5
0,25


b)

6x-6-2x+2
6x+9+2x-6

4x
-7
x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =

0,75

0,5

0,25


c) Từ

, do đó





Lại có


Suy ra Q =
=


0,25


0,5

0,5

0,25


Câu 3
(5,0đ)
a) 5x2 + 5y2 + 8xy + 2y – 2x +2 = 0

25x2 + 25y2 + 40xy + 10y –10x +10 = 0

(5x + 4y -1)2 + 9(y + 1)2 = 0
Do (5x + 4y -1)2
0 và 9(y + 1)2
0 với mọi x, y
Nên (5x + 4y -1)2 = 9(y + 1)2 = 0
Suy ra x = 1, y = -1

0,25
0,25
0,25
0,5
0,25


b) Ta có a5 – a