HSG Toán 7

trường tHCS hùng thành Đề thi học sinh giỏi toán 7
năm học 2008-2009 Thời gian làm bài: 120 phút


Câu1: (3điểm)
Thực hiện phép tính:

(63+3.62+33):13.9-2


Câu2: (3điểm)
Cho |ad| = |bc|, cdcchứng minh rằng
Cho ab+bc+ca = 0, abc
Chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a) + abc = 0

Câu3: (3điểm)
Cho tam giác cân ABC, AB = AC, A < 900. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC. Trên nữa mặt phẳng bờ AC chứa tia AB vẽ tia Ax vuông góc với AC. Trên nữa mặt phẳng bờ AB chứa tia AC vẽ tia Ay vuông góc với AB. Ax và Ay lần lượt cắt đường thẳng BC tại P và Q. PE cắt AQ tại M, QF cắt AP tại N.
Chứng minh BN = CM
Chứng minh MN//EF
Gọi I là giao điểm của PM và QN, kéo dài AI cắt BC tại H. Chứng minh CP2-CH2 = 2AH2+HP2

Câu4: (1điểm)
Cho biết Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm.


_______Hết_______
đáp án và biểu điểm

Câu
Nội dung
Điểm

Câu1
(3đ)
a)
b) (63+3.62+33):13.9-2 = 33(23+22+1):13
c)
1đ

1đ



1đ

Câu2
(3đ)
a) |ad| = |bc| suy ra ad = bc hoặc ad = -bc
Nếu ad = bc thì suy ra và từ đó suy ra (1)
Nếu ad = -bc thì suy ra và từ đó suy ra (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
b) ab+bc+ca = 0 suy ra: ab = -c(a+b(1)
Tương tự ta có (2) và (3)
Nhân vế theo vế (1), (2) và (3) ta có đpcm




0,75đ





0,75đ



0,75đ
0,75đ

Câu3
(3đ)











a)C/m


b) C/m cân tại A suy ra AMN =AQPMN//PQ, EF là đường TB suy ra EF//PQ. Vậy MN//EF
c) – C/m AHPQ
- Sử dụng ĐL Pi ta go để suy ra đpcm












1đ
1đ


1đ


Câu4
(1đ)
- Với x = 0 ta có (-2010)2009f(0) = 0 suy ra f(0) = 0 suy ra x = 0 là nghiệm
- Với x = 2009 ta có 20092009 f(0) = -f(2009) suy ra f(2009) = 0 suy ra x = 2009 là nghiệm
Vậy f(x) có ít nhất hai nghiệm

1đ


Lưu ý: Mọi cách làm đúng khác đều cho điểm tối đa.