HSG

3. Phương pháp thử – chọn

Ví dụ 1. Tìm tất cả các số có ba chữ số khác nhau sao cho : a + b + c = a x b x c
Giải : Giả sử a < b < c. Suy ra : a + b + c < c + c + c. Hay : a x b x c < c x 3
nên : a x b < 3 (cùng giảm đi c lần).
Vì vậy a x b = 1 hoặc a x b = 2.
Nếu a x b = 1 thì a = b = 1 (loại vì a, b, c khác nhau).
Nếu a x b = 2 thì a = 1, b = 2.
Khi đó ta có : 1 + 2 + c = 1 x 2 x c, suy ra c = 3.
Vậy a = 1, b = 2, c = 3. Nhưng a, b, c bình đẳng với nhau nên các số phải tìm là :
123, 132, 213, 231, 312, 321.
Ví dụ 2. Tìm tất cả các số có ba chữ số khác nhau sao cho:
+ + = 1
Giải : Giả sử a < b < c, suy ra < <
Do đó ta có : + + < + +
Hay : 1 < x 3 nên suy ra a < 3. Mà a lớn hơn 1, vậy a = 2. Với a = 2 thì + + = 1. Suy ra : + = Suy ra b và c phải lớn hơn 2.
Hơn nữa : = + < + = x 2. Suy ra b < 4. Vậy b = 3. Khi đó ta có : + = Suy ra : c = 6. Nhưng a, b, c bình đẳng với nhau nên các số phải tìm là : 236, 263, 326, 362, 632, 623.
Ví dụ 3. Tìm hai phân số đều có tử số là 1 sao cho tích của hai mẫu số gấp hai lần tổng của hai mẫu số đó.
Giải : Gọi hai mẫu số phải tìm là a, b. Theo bài ra ta có : (a + b) x 2 = a x b (1).
Giả sử a ≤ b thì a + b ≤ b + b (cùng cộng b)
a + b ≤ b x 2
Do đó : (a + b) x 2 ≤ b x 2 x 2 (cùng nhân 2).
(a + b) x 2 ≤ b x 4 (2)
Từ (1) và (2) ta có : a x b ≤ b x 4
Vì b ≠ 0 nên a ≤ 4 (cùng chia cho b).
Thay mỗi giá trị của a ≤ 4 vào (1).
- Nếu a = 1 thì (1 + b) x 2 = 1 x b.
Suy ra 2 + b x 2 = b (loại vì 2 + 2 x b > b)
- Nếu a = 2 thì (2 + b) x 2 = 2 x b.
Suy ra 2 + b = b (loại vì 2 + b > b).
- Nếu a = 3 thì (3 + b) x 2 = 3 x b
Suy ra 6 + 2 x b = 3 x b. Vậy b = 6.
Thử : (3 + 6) x 2 = 3 x 6 (đúng với đầu bài).
- Nếu a = 4 thì (4 + b) x 2 = 4 x b.
Suy ra : 4 + b = 2 x b. Vậy b = 4.
Thử : (4 + 4) x 2 = 4 x 4 (đúng với đầu bài).
Vậy các cặp phân số phải tìm là :
và ; và
Ví dụ 4. Tìm hai phân số đều có tử số là 1 sao cho tổng của hai phân số đó cộng với tích của chúng thì bằng
Giải : Gọi hai phân số phải tìm là và giả sử a ≤ b). Theo bài ra ta có :
+ + x = (*)