HSG

2. Phương pháp sử dụng tính chẵn - lẻ

Ví dụ 1. Thay mỗi dấu chấm hỏi (?) và chữ x bằng một chữ số, trong đó các chữ số x biểu thị cùng một chữ số:
( ?? x ? + x ) x x = 1977.
(Đề thi học sinh giỏi Quốc gia cấp Tiểu học 1976 - 1977)
Giải : Vì tích của hai số tự nhiên
(?? x ? + x) và x là một số lẻ (1977), nên x không thể là số chẵn. Do đó x chỉ có thể là 1, 3, 5, 7, 9. Lại vì số 1977 không chia hết cho 5, 7 và 9 nên x không thể là 5, 7, 9.
Nếu x = 1 thì theo bài toán ta có :
( ?? x ? + 1 ) x 1 = 1977
?? x ? + 1 = 1977
?? x ? = 1976
Nhưng tích ?? x ? lớn nhất bằng 99 x 9 = 891. Do đó x không thể là 1.
Nếu x = 3 thì theo bài toán ta có:
( ?? x ? + 3 ) x 3 = 1977
?? x ? + 3 = 1977 : 3 = 659
?? x ? = 659 - 3 = 656
?? = 656 : ?
Vì thương trong phép chia 656 : ? là một số có 2 chữ số, nên số chia phải là số lớn hơn 6. Lại vì số 656 không chia hết cho 7 và cho 9, nên số chia chỉ có thể là 8. Ta có 656 : 8 = 82. Vậy, ta có kết quả đúng như sau: ( 82 x 8 + 3 ) x 3 = 1977.
Ví dụ 2. Tìm số có 4 chữ số mà nếu ta đem số ấy nhân với 2 rồi cộng với 1003 thì kết quả nhận được là số có 4 chữ số viết bởi các chữ số như số ban đầu nhưng theo thứ tự ngược lại.
Giải : Gọi số cần tìm là (a ≠ 0, d ≠ 0 ; a, b, c, d < 10). Theo bài ra ta có :
x 2 + 1003 = (1)
Từ (1), ta nhận thấy rằng x 2 là số chẵn nên x 2 + 1003 là số lẻ nên là số lẻ. Suy ra a là số lẻ, a < 5 vì nếu a ≥ 5 thì x 2 là số có 5 chữ số (vô lý). Vậy a = 1 hoặc a = 3.
* Nếu a = 1 suy ra d ≥ 3. Vì khi đó ít nhất ta có vế trái của (1) là số lớn hơn 3000. Như vậy d x 2 + 3 = 11 hoặc d x 2 + 3 = 21.
+ d x 2 + 3 = 21 suy ra d = 9. Vế phải của (1) lớn hơn hoặc bằng 9000 mà vế trái nhỏ hơn 6000 (vô lý).
+ d x 2 + 3 = 11 suy ra d = 4. Thay vào (1) ta có : x 2 + 1003 = Tách theo cấu tạo số ta có :
2008 + 2 x + 1003 = 4001 +
2 x = 990 +
2 x = 99 + (2)
19 x b – 8 x c = 99. Suy ra : 19 x b ≥ 99 (3).
Từ (2) suy ra b là số lẻ. Từ (3) suy ra b > 5.
Vậy b = 7 hoặc b = 9.
+ Khi b = 7 không tìm được c.
+ Khi b = 9 ta tìm được c = 9.
Vậy số cần tìm là : = 1994.
* Nếu a = 3 thì ta có: x 2 + 1003 ≥ 7000. Suy ra vế phải : ≥ 7000 hay d ≥ 7. (*). Nhưng ta cũng thấy khi đó d x 2 + 3 = 13 (vì d < 10 nên không có d x 2 + 3 = 23) từ đó ta có d = 5 (**). Từ (*) và (**) ta thấy không thể có d thoả mãn bài toán.
Ví dụ 3. Có một số gồm hai chữ số mà hai lần chữ số hàng