HSG

4. Phương pháp sử dụng tính chất chia hết

Ví dụ 1. Tìm số biết rằng :
=

Giải : Ta có : < 100 và chia hết cho 3.
Do đó b = 2 ; 5 ; 8.
- Với b = 2 thì 27 : 3 = 9. Suy ra = 2 x 9 = 18.
Vậy = 128.
- Với b = 5 thì 57 : 3 = 19. Suy ra = 2 x 19 = 38. Vậy = 358.
- Với b = 8 thì 87 : 3 = 29. Suy ra = 2 x 29 = 58. Vậy = 588. Vậy có ba số thoả mãn điều kiện bài toán là = 128 ; 358 ; 588.
Ví dụ 2. Tìm số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 3 lần tích các chữ số của nó.
Giải : Gọi số phải tìm là (a ≠ 0 ; a, b < 10).
Theo bài ra ta có : = a x b x 3. Nhận xét : vì a ≠ 0 nên b ≠ 0. chia hết cho a, b và 3.
Vì chia hết cho a nên b chia hết cho a, do đó a < 5 để b là số có một chữ số.
Xét các trường hợp a = 1, a = 2, a = 3, a = 4.
*) Với a = 1 thì = 1 x b x 3 = b x 3. Vì b x 3 có ttận cùng là b (b ≠ 0) nên b = 5.
Thử : 1 x 5 x 3 = 15 (đúng với yêu cầu của bài).
*) Với a = 2 thì = 2 x b x 3 = b x 6. Vì b x 6 có tận cùng là b nên b = 2 ; 4 ; 6 ; 8. Nhưng b x 6 = nên b = 4 để 4 x 6 = 24.
Thử : 2 x 4 x 3 = 24 (đúng với yêu cầu của bài).
*) Với a = 3 thì = 3 x b x 3 = b x 9. Vì b x 9 có tận cùng là b nên b = 5.
Thử : 3 x 5 x 3 = 45 > 35 (loại).
*) Với a = 4 thì = 4 x b x 3 = b x 12. Nếu = b x 12 thì chia hết cho 12. Do đó b = 8, hay số phải tìm là 48. Khi đó ta có : b x 12 = 8 x 12 = 96. Vì 96 ≠ 48 nên loại trường hợp này.
Vậy các số phải tìm là 15 và 24.
Ví dụ 3. Thay a, b trong số bởi chữ số thích hợp để số này đồng thời chia hết cho 2; 5 và 9.
Giải: Số đồng thời chia hết cho 2 và 5 nên b = 0. Thay b = 0 vào số ta được Số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của nó chia hết cho 9. Vậy (2 + 0 + 0 + 7 + a + 0) chia hết cho 9 hay 9 + a chia hết cho 9, suy ra a = 0 hoặc a = 9.
Vậy ta tìm được 2 số thoả mãn bài toán là 200700; 200790.
Ví dụ 4. Một số nhân với 9 thì được kết quả là Hãy tìm số đó.
Giải: Một số nhân với 9 thì được kết quả là nên số chia hết cho 9. Vì số chia hết cho 9 nên (1 + 8 + 0 + 6 + 4 + 8 + 0 + 7 + ?) chia hết cho 9, hay 34 + ? chia hết cho 9, suy ra ? = 2. Thay ? = 2 vào số ta được 180 648 072. Số cần tìm là:
180 648 072 : 9 = 20072008.
Ví dụ 5. Điền các chữ số thích hợp (các chữ cái khác nhau được thay bởi các chữ số khác nhau)
=
Giải: Ta có vế trái: = 3 x Như vậy vế trái là một số chia hết cho 3. Vế ph