Hội thảo toán - pt vô tỉ

Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

1. Phương pháp nâng lên lũy thừa:
2) Phương pháp trị tuyệt đối hóa:
3) Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
a)Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, khi đó phương trình vô nghiệm
b) Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế
c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
d) Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt
4) Phương pháp đưa về phương trình tích:
5) Phương pháp đặt ẩn phụ:
a) Sử dụng một ẩn phụ
b) Sử dụng hai ẩn phụ
c) Sử dụng ba ẩn phụ
d) Sử dụng ẩn phụ đưa về hệ phương trình
6) Giải và biện luận phương trình vô tỉ:

1. Phương pháp nâng lên lũy thừa:

Hình thức chủ yếu là biến đổi để mất đi dấu căn, đưa về dạng quen thuộc để giải
a) Dạng 1:
(

Ví dụ. Giải phương trình:
(1)
Giải: (1) (

Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 3
b) Dạng 2:

Ví dụ. Giải phương trình:
(2)
Giải. Với điều kiện x ≥ 2. Ta có:
(2) (

(

(

(

Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 6
c) Dạng 3:

Ví dụ. Giải phương trình:
(3)
Giải: Với điều kiện 7 ≤ x ≤ 12. Ta có:
(3) (

(

(

( 4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16
( 76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 = 0
( 5x2 – 84x + 352 = 0


( x1 =
; x2 = 8
Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm x1 =
; x2 = 8
d) Dạng 4:

Ví dụ. Giải phương trình:
(4)
Giải: Với điều kiện x ≥ 4. Ta có:
(4) (

(

(

(

( 45 + 14x + 14
= 0
Với x ≥ 4 ( vế trái của phương trình luôn là một số dương ( phương trình vô nghiệm

2) Phương pháp trị tuyệt đối hóa:
Cũng là hình thức biến đổi để mất căn, mà chủ yếu là căn bậc 2 để dùng khái niệm trị tuyệt đối giải phương trình
Ví dụ 1. Giải phương trình:
(1)
Giải: (1) (

Với điều kiện x ≤ 8. Ta có:
(1) ( |x – 2| = 8 – x
– Nếu x < 2: (1) ( 2 – x = 8 – x (vô nghiệm)
– Nếu 2 ≤ x ≤ 8: (1) ( x – 2 = 8 – x ( x = 5
HD: Đáp số: x = 5.
Vídụ2.Giảiphươngtrình
(2)
Giải: (2) (

(

Đặt y =
(y ≥ 0) ( phương trình đã cho trở thành:


– Nếu 0 ≤ y < 1: y + 1 + 3 – y = 2 – 2y ( y = –1 (loại)
– Nếu 1 ≤ y ≤ 3: y + 1 + 3 – y = 2y – 2 ( y = 3
– Nếu y > 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiệm)
Với y = 3 ( x + 1 = 9 ( x = 8
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm là x = 8

3) Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
a) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, khi đó phương trình vô nghiệm
Ví dụ 1. Giải phương trình

Cách 1. điều kiện x ≥ 1
Với x ≥ 1 thì: Vế trái:
( vế trái luôn âm
Vế phải:
≥ 1 ( vế phải luôn dương
Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm
Cách 2. Với x ≥ 1, ta có:


(

(

Vế trái luôn là một số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥ 1 ( phương trình vô nghiệm
b) Sử dụng tính đối nghịch ở