Hoc sinh gioi lop4 7

TRƯỜNG THCS

KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP TRƯỜNG LẦN 4
NĂM HỌC 2011-2012
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)




ĐỀ CHÍNH THỨC


Bài 1: ( 2,5 điểm)
a. Cho:

- Thực hiện rút gọn A.
- Tìm x nguyên để A nguyên.
b. Chứng minh: a + b = c thì a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2

Bài 2: ( 1,5 điểm)
a. Chứng minh: a2 + b2 + c2 ( ab + ac + bc với mọi số a, b, c.
b. Chứng minh
với mọi số dương a, b, c.

Bài 3: (1,5 điểm)
Giải phương trình:


Bài 4: (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD. M là điểm trên đường chéo BD. Hạ ME góc với AB và MF vuông góc với AD.
a. Chứng minh DE ( CF; EF = CM
b. Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui.
c. Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất..

Bài 5: (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC (AB < AC) có AD là phân giác. Đường thẳng qua trung điểm M của cạnh BC song song với AD cắt AC tại E và cắt AB tại F.
Chứng minh BF = CE.











HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1: ( 2,5 điểm)


Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5 và x ≠2
0,25



0,25



0,25



0,25

A nguyên khi và chỉ khi
nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1
( x=3, hoặc x=1.
0,25


Đặt P = a4 + b4 + c4 - 2a2b2 -2 b2c2 - 2a2c2
= (a2 + b2 + c2 )2 - 4a2b2 - 4b2c2 - 4a2c2
0,25

Thay c2 = (a+b)2 vào ta được:
= (2a2 + 2b2 + 2ab )2 - 4(a2b2 + b2c2 + a2c2)
0,25

 = 4[(a2 + b2 + ab)2 - a2b2 - c2(a2+b2)]
0,25

Thay c2 = (a+b)2 vào ta được:
= 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab + a2b2 - a2b2 -(a+b)2 (a2+b2)]
= 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab -(a+b)2(a2+b2)]
0,25

 = 4(a2+b2)[ (a2+b2) +2ab -(a+b)2]
= 0 ( a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2
0,25

Bài 2: ( 1,5 điểm)
( 2(a2 + b2 + c2 )( 2(ab + ac + bc)
0,25

( 2a2 + 2b2 + 2c2 -2ab -2ac - 2bc ( 0
0,25

( (a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2 ( 0
Bất đẳng thức cuối luôn đúng (Do (a-b)2 ( 0 …) nên có đpcm
0,25

Câu b

(

0,25

Nhân hai vế với số dương abc được:
(

0,25

Áp dụng a) cho ba số ab, bc, ca ta có: đpcm
0,25

Bài 3: (1,5 điểm)
(

0,25

(

0,25

(
(

(

0,25

( (5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8)
( (5x+16)(x2 +10x + 24) = (5x+24)( x2 +10x + 16)
0,25

( 5x3 + 50x2 + 120x + 16x2 + 160x + 16.24
= 5x3 + 50x2 + 80x + 24x2 + 240x + 24.16
( 8x2 + 40x = 0
0,25

( 8x(x + 5) = 0
x = 0; x = -5
Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm
0,25