Hinhhoclop11

Bài tổng hợp về tứ diện vuông

Cho tam diện vuông Oxyz. Lấy các điểm A,B,C lần lượt trên ox,oy,oz để cho OA = a, OB = b, OC = c. Người ta vẽ OH vuông góc với mặt phẳng (ABC ).
Chứng minh H là trực tâm Δ ABC. Ngược lại đúng không?
Chứng minh ba góc của Δ ABC đều là góc nhọn.
Chứng minh hệ thức: 1/ OH2 = 1/OA2 +1/OB2 + 1/OC2
và cos2HOA + cos2HOB + cos2HOC = 1.
Tính khoảng cách OH và diện tích Δ ABC theo a,b,c.
Gọi G là trọng tâm của Δ ABC, tính OG theo a,b,c.
Đường tròn ngoại tiếp Δ ABC có tâm là I và bán kính là R.Tính
phương tích của H với đường tròn này, từ đó suy ra hệ thức: IH2 + 2HO2 = R2.
Chứng minh diện tích Δ OAB là trung bình nhân giữa diện tích Δ HAB
và diện tích Δ ABC. Từ đó suy ra định lý Pitago trong không gian:
( SABC)2 = ( SOBC)2 + ( SAOC)2 + ( SABO)2 .
8) Nếu a + b = c thì góc OCA + góc OCB + góc AOB = 90o
9) Chứng minh với A,B,C là ba góc của thì :
a2tanA = b2tanB = c2tanC = 2 SABC .
10) Gọi Si là diện tích các mặt bên OAB, OBC, OCA.Chứng minh rằng:
S1 + S2 + S3 ≥ 9HO 2/ 2 .
11) Chứng minh rằng: √3 SABC ≥ SOBC + SAOC + SABO .
12) Chứng minh rằng: mỗi điểm M nằm trên một cạnh của Δ ABC, tổng S
các khoảng cách từ A,B,C đến OM thoả mãn: S ≤ √ 2( a2 +b2 + c2 ). Khi nào xảy ra đẳng thức ?
13) Dựng điểm J là điểm cách đều 4 đỉnh O,A,B,C.
a) G là trọng tâm Δ ABC. Chứng minh rằng O,G, J thẳng hàng
và OG = 2GJ.
b) Tính OJ theo a,b,c
14) H là trực tâm Δ ABC. Đặt α = góc OAH, β = góc OBH, γ =
góc OCH, φ = góc AHB. Chứng minh rằng : sin φ = sin γ / cos α.cos β ;
cos φ = - tan α.tan β.
Gọi N là một điểm tuỳ ý thuộc đáy Δ ABC. Gọi n là tổng các khoảng
cách từ A,B,C xuống ON. Chứng minh rằng: n ≥ a + b .
16) Đặt α = góc AOH, β = góc BOH, γ = góc COH. Chứng minh rằng:
sin2 α / sin2A = sin2 β / sin 2B = sin2 γ / sin2C .
17) Giả sử Δ ABC là đều cạnh a.Tính OH theo a. Kéo dài HO một đoạn OD = HO. Chứng tỏ rằng ABCD là tứ diên đều ( Đề 27 câu IV b ).
18) Cho A cố định, B,C chạy trên oy,oz. Tìm quĩ tích các điểm H,G ( H trực tâm Δ ABC, G trọng tâm Δ ABC ).
19) Giả sử OA = a, B,C lấy trên oy,oz sao cho OB + OC = a ( hằng số ). Đặt góc OAB = α , goc OAC = β , goc BAC = γ. Chứng minh rằng khi B,C di động trên oy,oz thoả mãn điều kiện trên thì đại lượng α + β + γ là một hằng số.
20) Giả sử OA = a, B,C lấy trên oy,oz sao cho OB + OC = a ( hằng số ). J là điểm cách đều 4 đỉnh O,A,B,C. Chứng minh rằng Khi B,C di động theo qui luật trên thì J nằm