Hình thoi-Hình vuông ( Dạy thêm)

HÌNH THOI
ILÝ THUYẾT :




2. Hình thoi có đầy đủ các tính chất của Hbh.


4. Hcn là hình có tâm đối xứng (Giao điểm của hai đường chéo) và trục đối xứng
(2 đường chéo)
5. Dấu hiệu nhận biết Hcn:
a. Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
b. Hbh có hai cạnh kề bằng nhau.
c. Hbh có hai đường chéo vuông góc nhau.
d. Hbh có một đường chéo là phân giác của một góc.
II. Bài tập
Bài 1: Cho (ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh BC kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, cắt AB, AC thứ tự tại E và F.
a) Tứ giác AEDF là hình gì?
b) Điểm D nằm vị trí nào trên BC thì AEDF là hình thoi?
ải:
a) Tứ giác AEDF là hình gì?
Xét tứ giác AEDF có:
AE // DF, ED // AF (gt)
( AEDF là hình bình hành.
b) Hbh AEDF (câu a) là hình thoi ( AD là đường phân giác của
.
Vậy nếu D là giao điểm của đường phân giác của
với cạnh BC thì AEDF là hình thoi.
Bài 2: Cho (ABC. Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho BD = CE. Gọi I, K, M, N thứ tự là trung điểm của DE, BC, BE, CD.
Cmr: IK ( MN.
Giải:
Trong (BED có: ME = MB, IE = ID (gt)
Suy ra: IM là đường TB
( IM // BD, IM =
BD (1)
Tương tự ta cminh được NK là đường TB của (BCD ( NK // BD, NK =
BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: IM // NK và IM = NK
Suy ra IMKN là Hbh. (3)
Mặt khác ta cũng cminh được MK là đường TB của (BEC ( MK =
EC
Mà EC = BD (gt)
Suy ra:
EC =
BD hay MK = MI (4)
Từ (3) và (4) suy ra: IMKN là H.thoi
Suy ra: IK ( MN (t/c H.thoi)
Bài 3: Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho BD = CE. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự lần lượt là trung điểm của BC, CD, DE, EB.
Tứ giác MNPQ là hình gì?
Phân giác của góc A cắt cạnh BC tại F. Chứng minh rằng PM// FA.
Đường thẳng QN cắt AB và AC lần lượt ở I và K. Tam giác AIK là tam giác gì?
Giải:
Theo tính chất đường trung bình của tam giác BED. Ta có:
PQ= 1/2BD.
Tương tự: MN= 1/2BD, NP = 1/2CE
MQ= 1/2CE.
Mặt khác BD= CE ( gt )
Do đó MN = NP = PQ = QM.
Vậy tứ giác MNPQ là hình thoi.
b) Ta có : PN// AC, PQ// AB
nên góc QPN= góc BAC
( hai góc có cạnh tương ứng song song).
Gọi giao điểm của MP với AB là R,
Ta có góc ARM = góc QPM ( hai góc đồng vị ).
Tứ giác MNPQ là hình thoi nên PM là phân giác của góc QPN.
Do đó
Mặt khác A F là phân giác của góc BAC, do đó

Từ đó suy ra ( hai góc ở vị trí đồng vị ). Vậy FA // MR, Tức là MP //FA.
c) NQ và PM là hai đường chéo của hình thoi MNPQ nên NQ MP, nhưng FA// MP. Do đó NQ FA, tức là IK FA.
Tam giác AIK có A F là phân giác đồng thời là đường cao nên tam giác AIK cân tại A.








































HÌNH VUÔNG

LÝ THUYẾT