Hai phương pháp tìm GTLN; GTNN thường dùng

HAI PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

Phương pháp dùng hằng đẳng thức
VD1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức :



Giải



Ta thấy
nên

Dấu bằng xảy ra

Vậy Min

*)
( Đk :
)


( Do
) . Vậy
với mọi

Dấu bằng xảy ra

Vậy Max


*)
( Đk :
)
Ta có:
với mọi

Suy ra
với mọi

Vậy Min C = 1

*)
( Đk :
)
Ta có :
với mọi

Suy ra
với mọi

Dấu bằng xảy ra khi x = 0
Vậy Max B = 1 khi và chỉ khi x = 0
Nhận xét:

1) a > 0 suy ra có giá trị nhỏ nhất của P
a < 0 có giá trị lớn nhất của P
2) Nếu a, b trái dấu dung hằng đẳng thức
Nếu a, b cùng dấu lập luận trực tiếp theo đk

Áp dụng BĐT Cosi – Bunhacopxki
BĐT Côsi :
. Dấu bằng xảy ra ( a = b
BĐT Bunhacopxki :
. Dấu bằng xảy ra (

VD2: Cho M(x; y) thuộc đường thẳng: 2x + 3y = 26 (d)
Tìm điểm M sao cho khoảng cánh từ M tới gốc tọa độ là nhỏ nhất.
Giải
Cách 1: M (x; y) ; O (0; 0)
Suy ra

Hay

Để OM đạt giá trị nhỏ nhất thì
đạt giá trị nhỏ nhất
( Dùng hằng đẳng thức để biến đổi)
Cách 2:

Mặt khác :



Vậy OM đạt giá trị nhỏ nhất

Cách 3:


Kẻ OH vuông góc với (d), H thuộc (d)
Khi đó
với mọi M thuộc (d)
Vậy OM nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng với H
Mà (d) :
;

;

Vậy tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy với M (4; 6) thì Om đạt giá trị nhỏ nhất