Giải toán có dãy số đặc biệt

Bài toán chuỗi số đặc biệt : “Chuỗi số đuổi nhau”

I . Giới thiệu;
Khi thử sức HSG (thi HSG/khảo sát HSG toán 5 – 6), người ta thường cho một sô bài toán “Xử lý ” dãy số. Với “Cấp số cộng”, “” Cấp số nhân” đã có công thức tổng quát, nếu HS đã thực hành/ biết rồi thì dễ. Tuy nhiên Chương trình lớp 5 – 6 chưa học về cấp số/ chuỗi số nên khi gặp các chuối số đặc biệt sau đây thường lúng túng, mất nhiều thời gian. Thí dụ

Tính tổng S = Nếu biết phân tich S = HS dễ dàng tính ra S=
Các số hạng trong chuỗi số trên có mẫu số phân tich thành 2 thừa số tăng dần theo qui luật liên tục (cách nhau 1 hoăc 2; 3;.. k đơn vị) tạm gọi là “Chuỗi số đuổi nhau”.
Tài liệu này giới thiêu 8 bài mẫu và 2 bài luyện tập
Nghe nói GS Ngô Bảo Châu thời học lớp 3 – 4 (gì đó ?) luôn nộp bài trước nhất trong lớp khi giải các bài toán dạng như thế, trong khi các bạn cùng lớp “bò ra” chưa giải xong. Ai cũng thán phục !

II. Bài mẫu về “Chuỗi số đuổi nhau”

1/ Dạng thứ nhất
B 1.1: Tính nhanh tổng S =
Bài giải S = (1(

S =
S = = (ĐS)
Công thức 1:
Khi gặp “Chuỗi số đuổi nhau” dạng (1( tử số = 1; mẫu số gồm 2 thừa số liên tiếp (hiệu = 1); Nếu thừa số đầu tiên =1, thừa số cuối = n thì tổng của chuỗi là







B1.2 :
Tính nhanh
Bài này tử số các số hạng =2 ; mấu số là các thừa số liên tuc của các số TN lẻ 1, 3, 5, 7,...n ; các thừa số chênh nhau 2 đơn vị. Trường hợp này vẫn áp dụng Công thức 1



B1.3 :
Tính nhanh
Trường hợp này, mấu số là các thừa số liên tuc của các số TN lẻ 1, 3, 5, 7,...n ; các thừa số chênh nhau 2 đơn vị (k =2), trong khi tử số các số hạng chỉ là 1, Do vậy tổng cần nhân với hệ số
Công thức 2:




III.- Bài toán thực hành (mẫu)
Các dạng bài thực hành khi cho đề thi, người ta có thể biến hóa đôi chút. HSG phải biêt vận dụng tư duy sáng tạo. Tuy nhiên nếu nắm chắc công thức “Chuỗi số đuổi nhau”sẽ tiến hành dễ dàng.
Lưu ý nếu là HS lớp 5 thì vẫn cứ phải trình bày cả các bước biến đổi ( Coi như chưa biết công thức) .

*B3.1 : Tính nhanh tổng sau:
C =
+
+
+ …+


Các bước tính C = + + + ...................+

Để có dạng “Chuỗi số đuổi nhau”, phải nhân C vói ½ như sau:
C x = + + + ...................+ x
C x = + + + ...................+
C x = + + + ...................+

Phân tích :
= -
= -
= -
.............................
= -
Thay vào ta có:
C x = - + - + - +..................+ -
C x = - = - =
C = : = Đáp số:
Lưu ý : Nếu áp dung công thức cần phân biệt thừa số đầu tiên (của các mẫu số) bài này là 2, nên công thức 1 phải biến đổi thành
Công thức 3




B3.2: Tính nhanh A =
+
+
+
+
+


Trường hợp này cần phân tích mẫu số của các số hạng thành một tich 2 thừa số; trong đó có thừa số 2 chung để rút ra ngoái. Nhu vậy các số hang còn trong ngoặc () có thể phân tịch tiếp thành các tích số theo cong thức “Chuỗi số đuổi nhau”
Các bước tính
A = + + + + +
=
= = = = = Vậy A = (ĐS)