Giải & bàn luận đề IOM toán tiểu học

Giải & bàn luận Đề thi Toán Tiểu học quốc tế

Cuộc thi Olympic Toán quốc tề tại Singapore cho học sinh Tiểu học năm 2004 có 1 đề toán hình lí thú, có thể lấy làm ví dụ giảng cho HS tiểu học ( lớp 4-5 ); Cũng có thể phát triển thành đề cho HS THCS.


Đề gốc : Một hình tam giác vuông được tạo nên từ ba mảnh giấy màu khác nhau (như hình 1). Các mảnh giấy đỏ và xanh tạo nên từ các tam giác vuông với cạnh lớn nhất dài tương ứng 10 cm và 6 cm. Mảnh giấy vàng tạo nên từ hình vuông. Hãy tính tổng diện tích các mảnh giấy tam giác đỏ và xanh ?


Phân tích. 
Bài toán yêu cầu tính tổng diện tích hai hình tam giác (đỏ và xanh) nhưng chỉ cho biết độ dài 1 cạnh của mỗi tam giác, mà theo lí thuyết thì :
Diện tích tam giác vuông = cạnh góc vuông x cạnh góc vuông.
Nếu đọc kĩ đề bài trên hình vẽ thì thấy : Cạnh ngắn của tam giác đỏ và cạnh dài của tam giác vuông xanh đều bằng chiều dài hình vuông
Do đó nếu ta cắt hai hình (đỏ và xanh) này ghép lại : Cạnh dài của TG xanh áp sát cạnh ngắn của TG đỏ thì thành một hình tam giác có diện tích cần tìm. Tam giác mới tạo thành có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 10 cm và 6 cm ( Hình 2).



Bài giải.
Nếu ta cắt tam giác PNB ghép vào tam giác MNK sao cho điểm P trùng với điểm M để hai hình tam giác này trùng khít với nhau. ( Hình 3).
Khi đó ta được:
Tam giác NKC cũng là tam giac vuông có 2 cạnh lần lượt là 10 cm và 6 cm.
Tam giác NKC có diện tich là 2 tam giác đỏ và xanh gộp lại



Vậy diện tích hình tam giác NKC là: 10 x 6 : 2 = 30 (cm2). ( Đáp Số

Bàn luận:

Với HS lớp 4-5 chỉ cần giải như trên đã đạt yêu cầu. Tuy nhiên, Nếu bài giải chặt chẽ để đạt điểm tối đa thì phải chứng tỏ được rằng : Tam giác NKC cũng là tam giac vuông.
Ở cấp tiểu học, chưa học “tổng 3 góc của 1 tam giác bằng 2 góc vuông”; chưa học về đường thẳng song song ( Có thể lập luận theo 2 cách như sau
- Cách 1:
(ABC là tam giác vuông, vì có (A vuông , (C và (B là 2 góc nhọn (Hình 3)
So với (NKC có chung (C, đồng thời (K = (B ( (NKC là tam giác vuông.
- Cách 2: Ta có ( CNM + ( MNP + ( PNB = 2 góc vuông.
Mà ( MNP = 1 góc vuông (Góc của hình vuông)
( (CNM +( PNB = 1góc vuông.
Mặt khác, ta có (PNB =(MNK ( do xoay hình)
( (CNM +(MNK = 1góc vuông ( điều cấn CM)
Như vậy, HS tiểu học do được “gợi ý” từ đề bài là hình cắt ghép nên nếu tinh ý thì giải được bài. Kiểu đề này giúp HS làm quen dần với “Phép xoay hình” và đánh giá được HS nào thông minh


Với HS lớp 6 - 7 việc chứng minh (NKC là tam giác vuông không khó nếu đề bài cho ghép và xoay hình như trên. Do đó với HS lớp 6 -7 Đề ra nên chuyển lại thành dạng đề tổng quat hơn :
- Đề phát triển 1:
Tính tổng S(vuông MNC + S( vuông PNB ( Hình 3b) biết NC=a; NB=b


.
Giải bài này HS có thể xoay hình (như đề của tiểu học) hoặc kẻ đường phụ
NK ( BC rồi chứng minh ( PBN = (MKN

Đề phát triển 2: Cho hình vuông ABCP, kéo dài 2 cạnh liên tiếp AB và AP. Qua C kẻ đường thẳng cắt AB kéo dài ở M và cắt AP kéo dài ở N.
Tình diện tích (vuông AMN theo a và b ? Biết NC/MC = a/b = 2


Giải đề này HS phải dùng định lí Pitagor và các ĐL về tam giác đồng dạng.




ST & biên soạn Phạm Huy Hoạt 1/2013 – Nguồn TK chính: Web toantieuhoc.com