Giải Bài toán về diện tích TG vuông.doc

Gải 1 Bài toán hay về diện tích TG vuông
Tính diện tích của tam giác vuông thì dễ quá! Chỉ cần biết 2 cạnh của góc vuông là tính được.  Nhưng gặp bài toán chỉ cho biết 1 tam giác vuông và 1 đường trung tuyến, mà đường trung tuyến lại không được xác định rõ là phát xuất từ đỉnh nào của tam giác, từ đỉnh của một góc nhọn hay từ đỉnh của góc vuông thì ta giải như thế nào?
Đây là Bài toán hay:
Tính diện tích của một tam giác vuông bất kỳ có một đường trung tuyến bằng 25 cm.
Như đã thấy, bài toán có 2 trường hợp. Ta chỉ xét những tam giác vuông không cân. [*]
Trường hợp 1:  Trung tuyến phát xuất từ đỉnh của 1 góc nhọn, thí dụ đỉnh B.                            Xem Hình 1.




Tóm lại:  Nếu trung tuyến phát xuất từ một đỉnh của góc nhọn thì diện tích của tam giác vuông ABC bằng 168 cm2.
Trường hợp 2:  Trung tuyến phát xuất từ đỉnh của góc vuông.                            Xem Hình 3.
Giải theo bộ số Pitagor
Theo tính chất của TG vuông, đường trung tuyến hạ xuống cạch huyền bằng ½ cạnh huyền ( ta có Phương trình như sau:
            AB2 + AC2 = 502                   
(  (AB, AC, 50)  là 1 bộ ba Pythagore
(14, 48,50) là 1 bộ ba Pythagore. (  142 + 482 = 196 + 2304 = 2500 = 502
Suy ra:  Hai cạnh góc vuông của tamg giác ABC là 14 và 48 (   Diện tích ABC = ½ AB x AC = ½ 14 x 48 = 336 cm2
Tóm lại:  Nếu trung tuyến phát xuất từ đỉnh của góc vuông thì diện tích của tam giác vuông ABC bằng 336 cm2.  Kết quả nầy gấp đôi kết quả khi trung tuyến phát xuất từ đỉnh của 1 góc nhọn.
Biện luân ( trường hợp tổng quat)
Nếu đề bài không giới hạn trong bộ số Pitagor và không loại trừ trường hợp tam giác vuông cân thì ta phải tính ( Hình 4)
a/- Diện tích tam giác vuông lớn nhất có thể là bao nhiêu khi trung tuyến = 25 Cm2 ?
b/ Diện tích tam giác vuông có thể là bao nhiêu nếu 2 cạnh góc vuông có tỷ lệ ¾ ?
Giải :
a/Đặt TG vuông ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, Khi ấy Trung điểm M trung với O, Độ dài trung tuyến = bán kính đường tròn. TG vuông cân A’BC có diện tích lớn nhất vì đường cao trùng với trung tuyến
A’B = A’C =

Có thể tính diện tích TG vuông
Qua 2 cạnh góc vuông
SA’BC = ½.
= 625
- Đơn giản hơn, HS lớp 4 -5 cũng thấy DT tam giác vuông lớn bằng 2 tam giác vuông nhỏ ( SA’BC = ( OA’) 2 = 25 2 = 625
b/ Nếu 2 cạnh góc vuông có tỷ lệ ¾ ( cạnh huyền/cạnh gốc vuông=5/4/3.
Đây chính là gốc của bộ số Pitagor. Và chính là 2 trường hợp trên [*] đã giải
Nhận xét
giải trên là một lời giải đặc biệt cho một bài toán đặc biệt với trung tuyến cho sẵn có độ dài đặc biệt thích ứng để áp dụng các bộ ba Pythagore[*]. Nếu trung tuyến cho sẵn có số đo bất kỳ thì bài toán giải khó khăn, phức tạp hơn.
Mách nước:
-Nếu gặp bài toán tính diện tích TG vuông biết đường trung tuyến kéo từ 1 góc nhọn của TG = m thì phải cho tỷ lệ 2 cạnh góc vuông. Trường hơp [*] tỷ lệ đó =3/4
--Nếu gặp bài toán tính diện tích TG vuông biết đường trung tuyến kéo từ 1 góc vuông của TG =m ( bài toán có vô số đáp số mà Đáp lơn nhất khi đó là TG vuông cân

PHH biên soạn (9-2013) Phần 1 tham khảo bài của Xuân Trường