Giải quyết vấn đề khó

Trao đổi một số vấn đề khó trong môn toán ở tiểu học
Một số vấn đề khó :
1.Trong phép chia chúng ta không thể chia một số cho không:
Ví dụ. Không tồn tại phép chia; 6 : 0
Nhưng HS thường nhầm : 6 : 0 = 0
2.Tìm số dư trong phép chia có kết quả là số thập phân
Ví dụ : 8,21 : 5,2 = ?

82,1
52
301
1,5
4 1
HS thường nhầm lẫn số dư của phép chia là : 41 hoặc 4,1 .
3. Bài toán có tương quan tỉ lệ:
HS khó phân biệt 2 bài toán có quan tỉ lệ khác nhau.
HS thường nhầm lẫn cách giải bài toán quan tỉ lệ này sang cách giải bài toán quan tỉ lệ khác .
HS không nắm vững cơ sở cách giải nên áp dụng giải một cách máy móc .
4. Tỉ số phần trăm (%)
a.HS trong quá trình thực hiện tính tỉ số % của hai số thường trình bày không đúng :
Ví dụ : 2 : 5 x100 = 40%
Rõ ràng : 2 : 5 x100 = 40
Mà lại kết luận : 2 : 5 x100 = 40%.



b.HS thường nhầm lẫn cách giải hai bài toán tỉ số %
*Tìm A% của B
*Tìm số biết A% của nó là B
Ví dụ:
*Tìm 52,5% của 800
*Tìm số biết 52,5% của nó là 420
II.Nguyên nhân :
1.Trong phép chia chúng ta không thể chia một số cho không:
-HS nhầm lẫn giữa hai phépchia :
0 : 6 = 0
6 : 0 =
-HS không hiểu rõ vì sao không tồn tại :
6 : 0 =
2.Tìm số dư trong phép chia có kết quả là số thập phân : Ví dụ : 8,21 : 5,2 = ?
HS nhầm số dư là 41 Vì do thói quen cách tìm số dư trong phép chia số tự nhiên có thương là số tự nhiên .
HS nhầm số dư là 4,1 do nắm máy móc thuật toán gióng cột để tìm số dư .
HS không nắm được cơ sở của thuật toán .
Hs chưa được luyện tập nhiều về cách tìm số dư như bài toán đã nêu .
3. Bài toán có tương quan tỉ lệ:
HS không nắm vững mỗi tương quan tỉ lệ .
HS không nắm vững cơ sở cách giải nên áp dụng giải một cách máy móc .
4. Tỉ số phần trăm (%).
HS thường viết nhầm:
Ví dụ : 2 : 5 x100 = 40%
- Vì nắm quy tắc một cách máy móc.
- Không nắn rõ bản chất của tỉ số .
.HS thường nhầm lẫn cách giải hai bài toán tỉ số %
*Tìm A% của B
*Tìm số biết A% của nó là B
-Vì HS không tóm tắt được về bài toán tỷ lệ .
-Không xác định được giá trị nào tương ứng với 100%; Giá trị nào ứng với tỷ số % đã cho.
II. Hướng giải quyết:
Để giải quyết vấn đề này chúng ta cần phối hợp tốt:
-Giữa cơ sở khoa học và thuật toán .
- Giữa trực quan và khái quát hoá .
- Giữa tính truyền thống và tính hiện đại.
Ví dụ: Khi dạy phép cọng trong chương trình lớp 1:
Trao đổi một số vấn đề khó trong môn toán ở tiểu học
2
5
3
+
=
1. Không tồn tại phép chia cho không.
? Bằng ví dụ cụ thể để minh hoạ phép chia cho không, không tồn tại :
Ví dụ: Có 6 quả cam chúng ta không thể chia ra không phần .
? Dùng phương pháp thử lại của phép chia .
Ví dụ: 6 : 0 = ? Chúng ta không thể tìm được một số nào để nhân với 0 bằng 6 .
Theo cách hai thì : 0 : 0 = ? (Có giải thích được thế không ?)
0 :0 = ?
= 0
= 1
= 2
= ...
10 : 5 = ?
= 2
= ?
Trao đổi một số vấn đề khó trong môn toán ở tiểu học
2.Tìm số dư trong phép chia .
Ví dụ : 8,21 : 5,2 = ?
82,1 52
30 1 1,5
4 1

HS có thể đưa ra kết quả số dư
là : 41 ; 4,1 ; 0,41
? Hướng dẫn HS dựa vào dấu phẩy gốc gióng cột từ số bị chia xuống số dư , số dư nằm ở hàng nào thì nó có giá trị hàng đó .
? Hướng dẫn HS tìm số dư bằng cách :
Số dư =SBC - Thương x số chia
Số dư = 8,21 - 1,5 x 5,2 = 0,41
 H­íng dÉn häc sinh c¬ së cña thuËt to¸n chia cã kÕt qu¶ lµ sè thËp ph©n.
VÝ dô: 25,1 : 3 = ?
25,1 3
11 8, 3
2
*Chó ý : 8,21 : 5,2 = 82,1 : 52 . Ta ®· m­în c¸ch chia
82,1 : 52 ®Ó t×m kÕt qu¶ cho phÐp chia : 8,21 : 5,2
8,21 : 5,2 = 82,1 : 52 = 1,5 + 4,1/52
=1,5 +0,41/5,2
Hai phÐp chia cã th­¬ng b»ng nhau nh­ng sè d­ kh¸c nhau .
Số dư là : 0,2
3.Bài toán có tương quan tỉ lệ .
a. Bài toán 1: Một ô tô trong 2 giờ đi được 90 km . Hỏi trong 4 giờ ô tô đi được mấy Ki-lô-mét ?
Cách 1:
1 giờ ? km
2 giờ 90 km
4 giờ ?
Giải
Trong 1 giờ ô tô đi được số Ki-lô-mét là :
90 : 2 = 45 (km)
Trong 4 giờ ô tô đi được số Ki-lô-mét là:
45 x 4 = 180 (km)
Đáp số: 180 km
Cách 2 :
2 giờ 90 km

4 giờ ?


Giải
4 giờ gấp 2 giờ số lần là:
4 : 2 = 2 (lần)
4 giờ ô tô đi được số Ki-lô-mét là :
90 x 2 = 180 (km)
Đáp số : 180 km
: 2 x
: 2
Cách 3.
2 giờ 90 km

4 giờ ?

Giải
2 giờ gấp 4 giờ số lần là:
2 : 4 = 1/2(lần)
4 giờ ô tô đi được số Ki-lô-mét là :
90 : 1/2 = 180(km)
Đáp số : 180 km
: 1/2
:1/2

C¸ch 4.
? giê 1 km

2 giê 90 km
4 giê ?
Gi¶i
1 Ki- l«-mÐt « t« ®i trong thêi gian lµ :
2 : 90 = 1/45 (giê)
4 giê gÊp 1/45 giê sè lÇn lµ :
4 : 1/45 = 180(lÇn)
4 giê « t« ®i ®­îc sè Ki- l« -mÐt lµ :
180 x 1 = 180 (km)
§¸p sè :180 km
:90
:90
:180 x
:180
2:90=1/45
Qua ví dụ về bài toán tỷ lệ dã nêu trên ta thấy bài toán đã cho :



Mà ta đã biết : S = v x t
*Khi S = v x t . Nếu v là đại lượng hằng thì S tỷ lệ với t Theo hệ số v (Đại lượng này tăng lên bao nhiêu lần thì đại lượng kia cũng tăng lên bấy nhiêu lần .Ngược lại đại lượng này giảm bao nhiêu lần thì đại lượng kia giảm bấy nhiêu lần )
*Khi S = v x t . Nếu t là đại lượng hằng thì S tỷ lệ với v Theo hệ số t (Đại lượng này tăng lên bao nhiêu lần thì đại lượng kia cũng tăng lên bấy nhiêu lần .Ngược lại đại lượng này giảm bao nhiêu lần thì đại lượng kia giảm bấy nhiêu lần )
Vậy ta có các bài toán tỷ lệ sau :
Bảng 1
S1 , S2
S1 , S2 = ?
S1 , S2 = ?
S1 , S2
V1 , V2
V1 , V2=?
t1, t2
t1, t2 = ?
Chúng ta thường gặp các đại lượng tỷ lệ sau:
t1 = t2
t1 = t2
V1 = V2
V1 = V2
Bảng 2
Kết hợp bảng 1 với bảng 2 ta có : 4x7 = 28 (bài toán khác nhau)
Chiều rộng
Thời gian
Quảng đường
Vận tốc
Km/giờ
Diện tích
Tiền tệ
Tấn/ ha
Khối lượng
Diện tích
Năng suất
Chiều dài
m2
Giá cả
Hàng hoá
Kg/m3
Đồng/kg
Tấn/xe
Tấn/xe
Trọng tải
Khối lượng
Sản phẩm
Năng suất
Thời gian
Dụng cụ/giờ
Khối lượng
Khối lượng riêng
Thể tích
Khi bồi dưỡng học sinh giỏi ta có thể kêt hợp các bài toán tỷ lệ trên với các bài toán tổng tỷ, hiệu tỷ.
ví dụ:
Hai hình chữ nhật có chiều rộng bằng nhau. Diện tích hình chữ nhật thứ nhất hơn diện tích hình chữ nhật thứ hai là 78 m2. Tính diện tích mỗi hình . Biết rằng chiều dài hình chữ nhật thứ nhất là 27m ; chiều dài hình chữ nhật thứ hai là21m.

Như vậy bài toán đã cho ta biết :
Giải
Khi chiều rộng hình chữ nhật bằng nhau thì chiều dài và diện tích của chúng tỷ lệ với nhau.
Ta có :
V1 S1 27 9
V2 S2 21 7
Vậy ta có : S1:
S2:
Diện tích hình chữ nhật là
78 : (9-7)x9 = 351( m2)
Diện tích hình chữ nhật thứ hai là
78 : (9-7)x7 = 273( m2 )
Đáp số : 351 m2
273 m2
78m2
7p
9p
Với cáh kết hợp như thế ta có các bài toán sau :
Bảng 3
V1=v2
V1=v2
V1=v2
V1=v2
t1=t2
t1=t2
t1=t2
t1=t2
t1,t2
t1,t2
t1+t2
t1-t2
s1 - s2
s1 - s2
s1 + s2
s1 + s2
s1, s2
s1, s2
s1, s2
s1, s2
v1, v2
v1, v2
V1+v2
V1-v2
Kết hợp bảng 2 với bảng 3 ta có : 7 x 8 = 56 (Bài toán)
t1=t2
t1=t2
Trao đổi một số vấn đề khó trong môn toán ở tiểu học
b. Bài toán 2:
Để rõ mối quan hệ ta có thể đưa ra ví dụ thật trực quan.
Ví dụ:Có 16 bông hoa được cắm đều vào các bình hoa như sau:
Nếu mỗi bình hoa cắm 2 bông thì cần bao nhiêu bình ?
Nếu mỗi bình hoa cắm 4 bông thì cần bao nhiêu bình ?
Nếu mỗi bình hoa cắm 8 bông thì cần bao nhiêu bình ?











Khi số hoa trong bình tăng lên bao nhiêu lần thì số bình giảm đi bấy nhiêu lần.


Ví dụ: Muốn đắp xong nền nhà trong 2 ngày cần có 12 người. Hỏi muốn đắp xong nền nhà đó trong 4 ngày thì cần có bao nhiêu người?
2
8
4
4
2
8
Cách 1: 2 ngày 12 người
4 ngày ? người
Xác định mối tương quan: cũng nền nhà ấy mà phải đắp thời gian lớn hơn( lâu hơn) thì cần số người nhiều hơn hay ít hơn?.
Như vậy đại lượng này tăng thì đại lượng kia giảm ( số lần tăng và giảm bằng nhau)
phân tích
1 ngày ? người
2 ngày 12 người
4 ngày ? người
Giải
Muốn đắp nền nhà ấy xong trong
1 ngày cần số người là:
12 x 2 = 24 (người)
Đắp nền nhà ấy trong 4 ngày thì
cần số người là:
24 : 4 = 6 (người)
Đáp số : 6 người

Giải
4 ngày gấp 2 ngày số lần là:
4 : 2 = 2 (lần)
Đắp nền nhà ấy trong 4 ngày thì cần số ngày là;
12 : 2= 6 (người)
Đáp số : 6 người
Cách 2:
2 ngày 12 người

4 ngày ? người
:2
:2
Giải
Một người đắp nền nhà ấy trong số ngày là
2 x 12 = 24 (ngày)
24 ngày gấp 4 ngày số lần là :
24 : 4 = 6 (lần)
Đắp nền nhà ấy trong 4 ngày cần số người là :
6 x 1 = 6 (người)
Đáp số : 6 người
Cách 3:
? ngày 1 người

2 ngày 12 người
4 ngày ? người
: 6
:12x
:12
: 6 x
2x12=24
Cách 4:
2 ngày 12 người

4 ngày ? người

Giải
2 ngày gấp 4 ngày số lần là:
1
2 : 4 = ( lần)
2
Đắp nền nhà ấy trong 4 ngày cần số người là:
1
12 x = 6 (người)
2
Đáp số: 6 người
:1/2
:1/2 x

=>ta có S = V x t

2 ngày 12 người
4 ngày ? người
ta đặt
S : ngày công
V: số người t : số ngày
Từ ví dụ về bài toán tỷ lệ trên
vậy bài toán đã cho





Bài toán 2 này khác với bài toán 1 là cùng S .Khi cùng S thì V tỷ lệ với t ( Đại lượng này tăng thì đại lượng kia giảm - số lần tăng bằng số lần giảm )
Ta có các bài toán tỷ lệ khác nhau đó là :
Bảng 4:










Kết hợp bảng 4 với bảng 2 ta có : 2x7 = 14 bài toán khác nhau
S1= S2
S1= S2
v1, v2=?
t1, t2
v1, v2
t1, t2=?
Từ những bài toán tỷ lệ ấy chúng ta có thể kết hợp với bài toán tổng tỷ, hiệu tỷ để được bài toán mới .
Ví dụ: Một xe ô tô đi từ Nghệ An ra Hà Nội với vận tốc 50km/g, đi từ Hà Nội về với vận tốc 60km/g, tính quảng đường đi từ Nghệ An ra Hà nội biết rằng cả đi lẫn về ô tô đi hết 11 giờ .
Như vậy bài toán đã cho :
Giải
Cùng quãng đường (S ) thì V và t tỷ lệ với nhau .


t2 :
t1 :
Thời gian ô tô đi từ Nghệ An ra Hà Nội là:
11: (5+6) x5 = 5 (giờ)
Quãng đường từ Nghệ An ra Hà Nội là
60 x5 = 300 (km)
Đáp số : 300km

Với cách kết hợp như trên ta có các bài toán như sau:
V1 t2 50 5
V2 t1 60 6
5p
6p
11gìơ
Bảng 5









Kết hợp với bảng 2 ta có 4 x 7 = 28 bài toán khác nhau
Như vậy các bài toán đã nêu ở trên đều có một đại lượng hằng ( cùng S hoặc cùng v, hoặc cùng t)
S1=S2
S1=S2
S1=S2
S1=S2
v1,v2
v1,v2
v1 + v2
v1 - v2
t1+ t2
t1- t2
t1, t2
t1, t2
Trao đổi một số vấn đề khó trong môn toán ở tiểu học
ví dụ:
Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chặn
Bài toán đã cho :
Số gà + số chó = 36 con
Số chân gà + số chân chó = 100 chân
Gà : 2 chân / con
Chó: 4 chân / con
Ta có:
Số chân = số chân / con x số con
C. Bài toán không có đại lượng hằng .
Ta đặt
S : Số chân
V : số chân / con
t : số con
Như vậy bài toán cho ta biết:



Giải
Giả sử 36 con đều là chó cả ta có số chân là
36 x 4 = 144 (chân)
Số chân tăng thêm là:
144 - 100 = 44 (chân)
Vì một con gà có 2 chân mà theo giả sử đã tính một con gà 4 chân . Vậy mỗi con gà ta tính thêm số chân là :
4 - 2 = 2 ( chân)
Vậy số gà : 44 : 2 = 22 (con)
Số chó là : 36 - 22 = 14 (con)
Đáp số : Gà : 22 con , Chó : 14 con
Với cách kết hợp ấy ta có các bài toán như sau :
Bảng 6:
S1+S2
S1+S2
S1+S2
S1-S2
S1-S2
S1-S2
S1-S2
V1,V2
V1,V2
V1,V2
V1,V2
V1+V2
V1+V2
V1-V2
V1-V2
t1,t2
t1,t2
t1,t2
t1,t2
t1+t2
t1+t2
t1-t2
t1-t2
S1+S2
Kết hợp bảng 6 với bảng 2 ta có
8 x 7 = 56 : bài toán khác nhau
Trong bảng 6 ta có bài toán 1 và bài toán 3 không cho biết hiệu nào. ở dạng toán này ta dùng phương pháp giả thiết tạm như bài toán vừa gà vừa chó đã nêu trên. còn các bài toán còn lại cho biết ít nhất 1 hiệu .
ví dụ : Số chân cho hơn số chân gà là 12 chân . tổng số gà và số chó là 36 con . Hỏi có bao nhiêu con gà/ bao nhiêu con chó ? .
Như vậy bài toán cho biết .
Giải
S1:
S2:
Giả sử số chân gà bằg số chân chó như vậy cần thêm sốchân là 12. Để thêm 12 chân gà thì số con gà cần thêm là:
12: 2 = 6 con
Tổng số gà và số chó lúc thêm là:
36 + 6 = 42 (con )
Khi số chân bằng nhau thì :
Số gà :
Số chó :
Số chó là: 42 : (2+ 1) = 14 (con )
Số gà là : 36 - 14 = 22 (con)
Đáp số : chó :14 con
Gà : 22 con
42
12
Giải
Giải
Chúng ta có thể thay đổi để có bài toán mới như sau:
Ví dụ :
Số chân gà và số chân chó là 100 chân, số con gà hơn số con chó là 8 con . Hỏi có bao nhiêu con gà,bao nhiêu con chó.
Cách giải các dạng toán này ta cần bám vào hiệu:
hoặc hoặc rồi giả sử cho chúng bàng nhau để có 1 đại lượng hằng sau đó áp dụng bài toán tỷ lệ và bài toán tổng tỷ , hiệu tỷ để giải .
S1 – S2
v1– v2
t1 – t2
Trao đổi một số vấn đề khó trong môn toán ở tiểu học
3. Tỷ số phần trăm (%)
a. Bài toán 1 : Tìm tỷ số % của 420 và 800
Học sinh thường nhầm lẫn :
420 : 800x 100 = 52,5%
Khi học sinh thực hịên sai giáo viên cần làm rõ ở chỗ :
Cho học sinh thực hiện 420 : 800 x 100 =?
Học sinh tính :
420 : 800 x 100 = 52,5
Cho học sinh so sánh 52,5 và 52,5% rồi hướng dẫn học sinh thuật toán
420 : 800 = 0,525
0,525 = 52,5%
Làm rõ :
0,525= 0,525x1= 0,525x100/100 = 0,525x100% = 52,5%
b.Bài toán 2:
Một trường tiểu học có 800 học sinh , trong đó số học sinh nữ chiếm 52,5%. Tính số học sinh nữ của trường đó .
Phân tích :
Cả trường có bao nhiêu học sinh? (800 học sinh)
Tỷ số 52,5% là tỷ số học sinh nữ so với số học sinh nào ? ( số HS cả trường -800em)
Giáo viên kết luận:
800 100%
.....? 52,5%
Ta có thể hiểu. Nữ chiếm 52,5% tức là cả trường chia ra 100 phần bằng nhau thì số nữ chiếm 52,5 phần như thế.
Giải
1% số học sinh toàn trường là :
810: 100 = 8 học sinh
Số HS nữ hay 52,5% số HS toàn trường là:
8 x 52,5 = 420 (HS)
Đáp số : 420 HS
c.Bài toán 3: Số học sinh nữ của một trường là 420 em và chiếm 52,5% số học sinh của toàn trường. Hỏi trường đó có bao nhiêu HS?
Phân tích : Tỷ số 52,5% là tỷ số của HS nữ ( 420 em) so với số học sinh nào? (so với toàn trường)
Vậy cả trường tương ứng mấy %? (100%)
Ta có : Toàn trường 100%
420HS 52,5%
Ta có thể hiểu: 420 em tương ứng với 52,5 phần, cả trường tương ứng 100 phần như thế
Giải
1% số học sinh toàn trường là
420 : 52,5 = 8(HS)
Số HS toàn trường 100% là
8 x100 = 800 (học sinh)
Đáp số 800 HS
Ta có thể tổng hợp 3 bài toán trên như sau:
Số HS nữ cả trường Tỷ số %
a. 420 : 800 = 52,5%
b. ? : 800 = 52,5%
c. 420 : ? = 52,5%
Từ đó kết lụân trong trong phép chia tìm tỷ số phần trăm thì số chia tương ứng 100 phần ( 100%) .
Cách 2: Có thể áp dụng bài toán tìm thành phần chưa biết để giải bài b và c
Cách 3:
a. Để tính giá trị : 52,5% của 800
52,5% x 800 = 52,5 / 100 x 800 = 420
b. Ta có 52,5% của nó là 420
52,5% ứng với 420
52,5/100 là phân số chỉ 420
Vậy để tìm tất cả ( cả đơn vị )
420 : 52,5% =
= 420 : 52,5 /100
= 420 x 100 / 52,5
= 800 ( HS )



Kính chúc
các thầy giáo, cô giáo
mạnh khoẻ !
năm mới tràn đầy hạnh phúc !