Gải 34 bài toán hình nâng cao của lớp 7

Giải 34 bài toán hình trên “Toán tuổi thơ”

( Bài 1: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho diện tích tam giác AMN bằng một nửa diện tích tam giác ABC (M ≠ B ; N ≠ C). Chứng minh : Trọng tâm của tam giác ABC nằm trong tam giác AMN.

Lời giải : Gọi G là trọng tâm ABC. Đặt L là giao điểm của BG và AC ; O là giao điểm của BL và MN.
Ta có : AL = CL ; GB/GL = 2    (1)
Theo giả thiết : S(AMN) = 1/2 . S(ABC) Mặt khác, vì AL = CL nên : S(ABL) = 1/2 . S(ABC)
Vậy S(AMN) = S(ABL) => S(OLN) = S(OMB) => S(BLN) = S(NMB) => ML // BN
=> : OB/OL = BN/ML = AN/AL < AC/AL = 2    (2) (định lí Talét)
Từ (1), (2) => OB/OL < GB/GL => OB/OL + 1 < GB/GL + 1 => BL/OL < BL/GL
GL < OL => G thuộc đoạn OL => G thuộc tam giác AMN (đpcm).

(Bài 2: Cho tam giác ABC. Các trung tuyến AM, BN, CP đồng qui tại G. Giả sử bán kính các đường tròn nội tiếp các tam giác AGN, BGP, CGM là bằng nhau. Chứng minh rằng : tam giác ABC là tam giác đều.
Lời giải :
Nhận xét rằng : Trong một tam giác cạnh nào lớn hơn khi và chỉ khi độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh đó nhỏ hơn.
Đặt BC = a, AC = b, AB = c ; AM = ma,
BN = mb ; CP = mc.
Không mất tính tổng quát giả sử BC = min {AB, BC, CA}. Theo nhận xét trên thì ma = max {ma, mb, mc}.
Từ S(AGN) = S(BGP) = S(CGM) = 1/6.S(ABC) và sử dụng công thức S = p.r, => :
AG + GN + AN = BG + GP + BP = GC + MG + CM (*)
Theo tính chất trọng tâm, từ (*) ta có:

ma +
mb +
b =
mb +
mc +
c
=>

Vì ma = max {ma, mb, mc} nên từ (1) => c ≥ b => mb ≥ mc. Từ (3) => 1/2.(b - a) ≤ 0 hay b ≤ a .
Mặt khác a = min {a, b, c} nên a = b => ma = mb. Từ (1), (2) => b = c.
Vậy a = b = c hay ΔABC đều (đpcm).

(Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, góc BAC = 40o , đường cao AH. Các điểm E, F theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng AH, AC sao cho ( EBA = ( FBC = 30o. Chứng minh rằng : AE = AF.
Lời giải :
Trên nửa mặt phẳng bờ AB, chứa C, lấy điểm K sao cho tam giác ABK đều (hình 1)
Trong tam giác ABC, theo giả thiết, ta có :
( ABC = ( ACB = (180o - 40)/2 = 70o => ( ABF = ( ABC - ( FBC = 70o - 30o = 40o.
Vậy ( ABF = ( BAF => ΔABF cân tại F => FA = FB.
Theo cách dựng điểm K, KA = KB. Vậy KF là đường trung trực của đoạn AB => KF là phân giác của ( AKB (vì ΔABK đều) => ( FKB = 30o => ( FKB = ( EBA (1) (theo giả thiết)
ΔABC cân tại A, ( BAC = 40o , AH là đường cao, => ( BAE = 1/2.40o = 20o .
Mặt khác( KAF = ( KAB - ( FAB = 60o - 40o = 20o
Vậy ( KAF = ( BAE (2) . Chú ý rằng ΔABK đều nên AB = AK (3)
Từ (1), (2), (3) => : ΔKAF = ΔBAE => AF = AE (đpcm)

(Bài 4: Tam giác ABC có E là trung điểm cạnh BC
sao cho ( EAB = 15o , ( EAC = 30 . Tính ( C.
Lời giải :
Gọi F là điểm đối xứng của C qua AE và I là giao điểm của CF và AE,
=> AI vuông góc với CI. Xét tam giác vuông IAC, vuông tại I,
có ( IAC = 30o => ( ACF = ( ACI = 60o (1) .